Ikki karrali integral ta’riflari 10. Integralning ta’rifi

5-§. Ikki karrali integralning xossalari
Quyida funksiya ikki karrali integralining xossalarini o’rganamiz.
Ikki karrali integral ham aniq integralning xossalari singari xossalarga ega. Ularni asosan isbotsiz keltiramiz.
1) funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsin. Bu funksiyaning sohaga tegishli bo’lgan nol yuzli chiziqdagi qiymatlarinigina (chegaralanganligini saqlagan holda) o’zlashtirishdan hosil bo’lgan funksiya ham sohada integrallanuvchi bo’lib,

bo’ladi.
Ravshanki, uchun
.
Shartga ko’ra nol yuzli chiziq. Unda 1-lemmaga asosan, olinganda ham shunday topiladiki, soha diametri bo’lgan har qanday bo’laklashi olinganda ham, bu bo’laklashning chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo’lgan bo’laklari yuzlarining yig’indisi dan kichik bo’ladi. Shu bo’laklashga nisbatan va funksiyalarning ushbu integral yig’indilarini tuzamiz:
,
.
yig’indini quyidagicha ikki qismga ajratamiz:

bunda yig’indi chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo’lgan bo’laklar bo’yicha olingan, esa qolgan barcha hadlardan tashkil topgan yig’indi.
Xuddi shunga o’xshash
.
Agar uchun ekanini e’tiborga olsak, u holda

bo’lishi kelib chiqadi, bunda . Demak,
.
Keyingi tengsizlikda da limitga o’tib quyidagini topamiz:
.
2) funksiya sohada berilgan bo’lib, soha nol yuzli chiziq bilan va sohalarga ajralgan bo’lsin. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsa, funksiya va sohalarda ham integrallanuvchi bo’ladi. Va aksincha, ya’ni funksiya va sohalarning har birida integrallanuvchi bo’lsa, sohada ham integrallanuvchi bo’ladi. Bunda

3) Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda ham shu sohada integrallanuvchi va ushbu

formula o’rinli bo’ladi.
4) Agar va funksiyalar sohada integralla­nuv­chi bo’lsa, u holda funksiya ham shu sohada integrallanuvchi va ushbu

formula o’rinli bo’ladi.