Ikki karrali integral ta’riflari 10. Integralning ta’rifi

2⁰. , funksiyalar sohada, , funk­siya­lar sohada uzluksiz va barcha xususiy hosilalarga ega bo’lib, bu xususiy hosilalar ham uzluksiz bo’lsin.
3⁰. (17.16) sistemadagi funksiyalarning xususiy hosilaridan tuzilgan ushbu
(17.19)
funksional determinantning ham sohada noldan farqli (ya’ni sohaning har bir nuqtasida noldan farqli) bo’lsin. Odatda (17.19) determinantni sistemaning yakobiani deyiladi va yoki kabi belgilanadi.
Bu 2⁰ va 3⁰ – shartlardan, bog’lamli soha bo’lganda, (17.19) yakobianning shu sohada o’z ishorasini saqlashi kelib chiqadi.
Haqiqatdan ham, funksiya sohaning ikkita turli nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga ko’ra, da shunday nuqta topiladiki, bo’ladi. Bu esa bo’lishiga ziddir.
3-shartdan (17.17) sistemaning yakobiani, ya’ni ushbu

funksional determinantning ham sohada noldan farqli bo’lishi kelib chiqadi.
Haqiqatdan ham, (17.18) munosabatdan
,
,
,

bo’lishini e’tiborga olsak, u holda

bo’lib,

bo’lishini topamiz.
Demak, bog’lamli soha bo’lganda yakobiani ham sohada o’z ishorasini saqlaydi.
Yuqoridagi shartlardan yana quyidagilar kelib chiqadi.
(17.16) akslantirish sohaning ichki nuqtasini sohaning ichki nuqtasiga akslantiradi. Haqiqatdan ham, oshkormas funksiyaning mavjudligi haqida teoremaga ko’ra (17.16) sistema nuqtaning biror atrofida va larni va o’zgaruvchilarning funksiyasi sifatida aniqlaydi: , . Bunda , bo’ladi. Demak, sohaning ichki nuqtasi. Bundan (17.16) akslantirish sohaning chegarasi ni sohaning chegarasi ga akslanti­ri­shi kelib chiqadi.
Shuningdek, (17.16) akslantirish sohadagi silliq (bo’lakli -silliq) egri chiziq

ni sohadagi silliq (bo’lakli-silliq) egri chiziq


ga akslantiradi.
sohada to’g’ri chiziqni olaylik. (17.16) akslantirish bu to’g’ri chiziqni sohadagi
(17.20)
egri chiziqqa akslantiradi. Xuddi shunday sohadagi to’g’ri chiziqni (17.16) akslantirish sohadagi
(17.21)
egri chiziqqa akslantiradi. Odatda, (17.20) va (17.21) egri chiziqlarni koordinata chiziqlari (17.20) ni koordinata chizig’i, (17.21) ni esa koordinata chizig’i) deb ataladi.
Modomiki, (17.16) akslantirish o’zaro bir qiymatli akslantirish ekan, unda sohaning har bir nuqtasidan yagona koordinata chizig’i ( ning tayin o’zgarmas qiymatiga mos bo’lgan chiziq), yagona koordinata chizig’i ( ning tayin o’zgarmas qiymatiga mos bo’lgan chiziq) o’tadi. Demak, sohaning shu nuqtasi yuqorida aytilgan va lar bilan, ya’ni sohaning nuqtasi bilan to’liq aniqlanadi. Shuning uchun va larni soha nuqtalarining koordinatalari deb qarash mumkin. soha nuqtalarining bunday koordinatalari egri chiziqli koordinatalari deyiladi.
Masalan, ushbu

sistema sohani tekislikka akslantiradi. Bu sistemaning yakobiani

bo’ladi.
va lar soha nuqtalarining egri chiziqli koordinata­lari bo’lib, shu sohaning koordinat chiziqlari esa, markazi nuqtada, radiusi ga teng ushbu

aylanalardan ( koordinat chiziqlari) hamda nuqtadan chiqqan nurlardan ( koordinat chiziqlari) iborat.
Faraz qilaylik, ushbu

sistema sohani sohaga akslantirsin. Bu akslantirish yuqoridagi 1⁰-3⁰-shartlarni bajarsin. U holda sohaning yuzi
(17.22)
bo’ladi.
Bu formulaning isboti keyingi bobda keltiriladi (qarang, 18-bob, 3-§).
funksiya sohada berilgan va shu sohada uzluksiz bo’lsin. esa sodda, bo’lakli-silliq chiziq bilan chegaralangan soha bo’lsin. Ravshanki, funksiya sohada integrallanuvchi bo’ladi.
Aytaylik, ushbu

sistema sohani sohaga akslantirsin va bu akslagtirish yuqoridagi 1⁰-3⁰-shartlarni bajarsin.
Har bir bo’luvchi chizig’i bo’lakli-silliq bo’lgan sohaning bo’lak­lani­shini olaylik. (17.16) akslantirish natijasida sohaning bo’laklanishi hosil bo’ladi. Bu bo’laklanishga nisbatan funksiya integral yig’indisi

ni tuzamiz. Ravshanki,
.
Yuqorida keltirilgan (17.22) formulaga ko’ra

bo’ladi. O’rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib quyidagini topamiz:

bunda ning yuzi. Natijada yig’indi ushbu

ko’rinishga keladi.
nuqtaning sohadagi ixtiyoriy nuqta ekanligidan foydalanib, uni


deb olish mumkin. U holda

bo’ladi.
Ravshanki,

funksiya sohada uzluksiz. Demak, u shu sohada integrallanuvchi. U holda

bo’ladi.
da bo’lishini e’tiborga olib, topamiz:
. (17.23­)
Bu ikki karrali integralda o’zgaruvchilarni almashtirish formulasidir.
U berilgan soha bo’yicha integralni hisoblashni soha bo’yicha integralni hisoblashga keltiradi. Agarda (17.23) da o’ng tomondagi integralni hisoblash engil bo’lsa, bajarilgan o’zgaruvchilarni almashtirish o’zini oqlaydi.
17.5-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda

markazi nuqtada, radiusi 1 ga teng bo’lgan yuqori tekislikdagi yarim doira.
Berilgan integralda o’zgaruvchilarni quyidagi almashtiramiz:

Bu almashtirish ushbu

to’g’ri turtburchakni sohaga akslantiradi va u 1⁰-3⁰-shartlarni qanoatlantiradi. Unda (17.23) formulaga ko’ra

bo’ladi. Bunda yakobian bo’ladi. Bu tenglikning o’ng tomondagi integralni hisoblab topamiz:
.
Demak,
.