Ikki karrali integral ta’riflari 10. Integralning ta’rifi

9-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo’lsin. Agar o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo’lsa, u holda

integral ham mavjud va

bo’ladi.
Bu teoremaning isboti 8-teoremaning isboti kabidir.
Faraz qilaylik, soha yuqorida qaralgan soha­lar­ning har birining xususiyatiga ega bo’lsin (55-chizma (b)).
6-natija. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo’lsin. Agar o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo’lsa, o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo’lsa, u holda
,
integrallar ham mavjud va

bo’ladi.
Bu natijaning isboti 8-teorema va 9-teoremadan kelib chiqadi.
Agar soha (56-chizma)

56-chizmada
tasvirlangan soha bo’lsa, u holda bu soha yuqorida o’rganilgan sohalar ko’rinishiga keladigan qilib bo’laklarga ajratiladi. Natijada soha bo’yicha ikki karrali integral ajratilgan sohalar bo’yicha ikki karrali integrallar yig’indisiga teng bo’ladi. Shunday qilib, biz integrallash sohasi ning etarli keng sinfi uchun karrali integrallarni takroriy integrallarga keltirib hisoblash mumkinligini ko’ramiz.
17.3-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda .
Bu holda 7-teoremaning barcha shartlari bajariladi. Usha teo­remaga ko’ra

bo’ladi. Keyingi tenglikning o’ng tomonidagi integrallarni hisob­lab quyidagilarni topamiz:
,

Demak,
.
17.4—misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda .
Bu holda 6-teoremaning barcha shartlari bajariladi. Usha teoremaga ko’ra

bo’ladi. Integrallarni hisoblab topamiz:
.
Demak,
.
Bu keltirilgan misollarda sodda funksiyalarning sodda soha bo’yicha ikki karrali integrallari qaraldi. Ko’p hollarda sodda funksiyalarni murakkab soha bo’yicha, murakkab funksiyalarni sodda soha bo’yicha va ayniqsa, murakkab funksiyalarni murakkab soha bo’yicha ikki karrali integrallarini hisoblashga to’g’ri keladi. Bunday integrallarni hisoblash esa ancha qiyin bo’ladi.