Ikki karrali integral ta’riflari 10. Integralning ta’rifi

17.2-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda .
Integral ostidagi

funksiya sohada uzluksiz. Unda qaralayotgan ikki karrali integral ham,

integral ham mavjud. 7-teoremaga ko’ra

integral mavjud bo’ladi va

bo’ladi.
Agar

bo’lishini hisobga olsak, unda

ekanini topamiz. Demak, .
Endi soha ushbu ko’­ri­­­nishda bo’lsin. Bunda va da berilgan va uzluksiz funksiyalar (54-chizma)

54-chizma
8-teorema. funksiya sohada berilgan va integral­la­nuvchi bo’lsin. Agar o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo’lsa, u holda ushbu

integral ham mavjud va

bo’ladi.
 va funksiyalar da uzluksiz. Veyershtrass teore­masiga ko’ra bu funksiyalar da o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Ularni
,
deb belgilaylik.
Endi

sohada ushbu

funksiyani qaraylik.
Ravshanki, teorema shartlarida bu funksiya sohada integrallanuvchi va integral xossasiga ko’ra
(17.14)
bo’ladi. Shuningdek, o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud va
(17.15)
bo’ladi. Unda 6-teoremaga ko’ra

integral ham mavjud va

bo’ladi.
(17.14) va (17.15) munosabatdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Endi soha ushbu

ko’rinishda bo’lsin. Bunda va da berilgan uzluksiz funksiyalar (55-chizma (a)).
(a) (b)

55-chizma