IKKI KARRALI INTEGRALDA O‘ZGARUVCHILARNI ALMASHTIRISH
ikki o‘lchovli integralda to‘g‘ri burchakli koordinatalar x, y bilan quyidagicha munosabatlar orqali bog‘langan yangi u, v koordinatalarga o‘tkaziladi
(1)
Agar va sohalar(1-shakl) o‘rtasida (1) munosabatlar orqali o‘zaro bir qiymatli akslantirish o‘rnatilgan bo‘lsa, shu bilan birga akslantirish yakobiani
bo‘lsa, quyidagi formula o‘rinlidir:
(2)
(2) formulada yakobianni hisoblashda
(3)
tengliklar bilan ifodalangan formulasidan foydalanish ham mumkin.
1-shakl.
1-misol. Ikki karrali integralni hisoblang: , bu yerda to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan kvadratdir.
► almashtirishni bajaramiz, bundan U holda almashtirishning Yakobiani
Demak, .
Bundan, .
soha chiziqlar bilan chegaralangan kvadrat bo‘lgani uchun,
. ◄
Ma’lumki, to‘g‘ri burchakli x,y va qutb koordinatalar o‘zaro
munosabatlar bilan bog‘langan. Bu yerda .
Ikki karrali integralda to‘gri burchakli koordinatalardan qutb koordinatalarga o‘tish quyidagi formula orqali amalga oshiriladi:
. (4)
Integrallash chegaralari O qutbning vaziyatiga bog‘liq bo‘ladi.
a) Agar O qutb va nurlar, hamda va chiziqlar bilan chegaralangan D soha tashqarisida yotsa, shuningdek, va nurlar soha chegarasini ikki nuqtada kesib o‘tsa, ikki karrali integral quyidagi formula bilan hisoblanadi:
(5)
b) Agar O qutb D soha ichida joylashgan bo‘lsa va bu soha chegarasi qutb koordinatalar sistemasida ko‘rinishiga ega bo‘lsa, u holda ikki karrali integral quyidagi formula bilan hisoblanadi:
(6)
c) Agar O qutb va nurlar bilan chegaralangan D soha chegarasida yotsa, shu bilan birga, chegaraning qutb koordinatalar sistemasida tenglamasi ko‘rinishiga ega bo‘lsa, u holda ikki karrali integral quydagi formula bilan hisoblanadi:
(7)
2-misol. integralda, qutb koordinatalari sistemasiga o‘tib, integral chegarasini qo‘ying. Bu yerda
►
Kesishish nuqtalarini topamiz:
Bundan, bo‘lgani uchun, quyidagiga ega bo‘lamiz: .
Demak, (7) ga ko‘ra,
.◄
3-misol. Berilgan integralni qutb koordinatalar sistemasiga o‘tib hisoblang.
► dan foydalanamiz.
.◄
Мавзуга доир топшириқлар
integralni hisoblang. Bu yerda chiziqlar bilan chegaralangan soha.
integralni hisoblang. Bu yerda , parabolalar bilan chegaralangan soha.
integralni qutb koordinatalaridan foydalanib hisoblang. Bu yerda aylana bilan chegaralangan soha.
integralni qutb koordinatalaridan foydalanib hisoblang. Bu yerda , chiziqlar bilan chegaralangan halqa qismi.
Ko`rsatilgan soha uchun integralda qutb koordinatalariga o`tib, integrallash chegaralari ikki xil tartibda qo`yilsin.
Berilgan chiziqlar chegaralangan D sohada ikki karrali integralni hisoblang.
Mustaqil yechish uchun testlar integralni hisoblang. Bu yerda radiusli markazi koordinata boshida boʻlgan doira sohasi.
A) ; B) D) ; E) 2. integralda va chiziqlar bilan chegaralangan soha boʻlsa, integraldagi almashtirish yakobianini toping.
A) ; B) ; D) ; E) .
3. integralda va aylanalar bilan chegaralangan soha boʻlsa, integral chegarasini qoʻying.
A) B)
D) E) .
4. integralni hisoblang. Bu yerda va aylanalar bilan chegaralangan soha.
A) ; B) ; D) ; E) .
5. integralni hisoblang. Bu yerda, , va tengsizliklar bilan aniqlangan soha.
A) ; B) ; D) ; E) .