Ikki va uch karrali integrallar

2.1.Ta’rif. Vi  bulaklarning diametri nolga intilganda integral yig’indining chekli J limiti f( x, y, z) funksiyaning V  soha bo`yicha uch karrali integrali deyiladi va

kabi belgilanadi.
Bu chekli limit faqat chegaralangan funksiyalar uchun mavjud bo’ladi. Bunday funksiyalar uchun  integral yig’indidan tashqari yana Darbu yig’indilarini ham tuzib olishimiz kerak:

bu yerda

Uch karrali integral mavjud bo`lishi uchun

Yoki

Shartni bajarishi zarur va yetarli. Bu yerda f(x,y,z) funksiyani (V_i) sohadagi tebranishi deyiladi
Bundan har qanday uzluksiz funksiyaning integrallanuvchiligi kelib chiqadi.
Integrallanuvchi funksiyalar va uch karrali integralning ba’zi muhim xossalarini
keltiramiz

1. 
   Agar (V)=(V^’)+(V^”) bo`lsa,
   

.
Chap tomonidagi integralning mavjudligidan o`ng tomondagi integralning ham mavjudligi kelib chiqadi va aksincha.

1. 
   Agar k=const bo`lsa,
   

Chap tomondagi integrallarning mavjudligidan o`ng tomondagi integrallar ham mavjudligi kelib chiqadi va aksincha,

2. 
   Agar (V) sohada f(x,y,z) va g(x,y,z) funksiyalar integrallanuvchi bo`lsa, f g funksiya uchun ham (V) sohada integrallanuvchi va
   

munosabat o`rinli.

3. 
   Agar (V) sohada integrallanuvchi f(x,y,z) va g(x,y,z) funksiyalar f g tenglik bajarilsa
   

tenglik o`rinli bo`ladi.

4. 
   F(x,y,z) funksiya integrallanuvchi bo`lsa |f(x,y,z)| funksiya ham integrallanuvchi bo`ladi va
   

Tenglik o`rinli bo`ladi.

5. 
   (V) sohada integrallanuvchi f(x,y,z) funksiya uchun
   

tenglik o`rinli bo`lsa,

tenglik ham o`rinli bo`ladi

Shu o`rinda o`rta qiymat haqidagi teorema uchun

(m )
Tenglikdan foydalanamiz. f(x,y,z) funksiya uzluksiz bo`lgan holda ushbu formulani quyidafi
(1.3)
Ko`rinishda ham yozish mumkin, bu yerda sohaning biror nuqtasi.
Chegarasi o`zgaradigan soha bo`yicha uch karrali integralni kiritamiz.
(v) – chegarasi o`zgaruvchi soha bo`lsin. U holda
(2.4)
munosabat o`rinli
Endi xuddi shunga o’xshash v funksiyadan berilgan M nuqtada soha bo’yicha
hosila tushunchasini ham kiritish mumkin, ya’ni ushbu

limiti funksiyadan soha bo`yicha hosilasini ifodalaydi.

6. 
   Agar integral ostidagi funksiya uzluksiz bo’lsa, (1.4) integraldan M nuqtada soha bo’yicha hosilasi integral ostidagi funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga teng.
   

Shuning uchun yuqoridagi (1.4) integral f (x, y, z ) funksiya uchun qaysidir ma’noda «boshlang’ich» funksiya sifatida qabul qilsa bo’ladi.
Uch karrali integralni hisoblashning ba’zi hollarini keltiramiz
Faraz qilaylik qaralayotgan sohamiz (T)=[a,b,c,d,e,f] to’gri burchakli paralellopipeddan iborat bo’lsin. Shu sohada f( x, y, z) funksiya berilgan bo’lsin. (T) sohaning yz tekislikdagi proeksiyasi (R)=[c,d,e,f] to’gri to’rtburchakdan iborat.
Teorema. Agar f( x, y, z) funksiya uchun

(2.5)
uch karrali integral mavjud va a b ,  oraliqdagi har bir tayinlangan x uchun
(2.6)
ikki karrali integral va shuningdek
(2.7)
takroriy integral mavjud bo’lsa
= (2.8)
tenglik o’rinli bo’ladi