Ikki va uch karrali integrallar

3.§.Uch karrali integralda o’zgaruvchilarni almashtirish.
Matematik analizning umumiy kursida ikki karrali integrallarni o’rganayotganimizda Grin formulasi bilan tanishganmiz. Bu formula ikki karrali integrallar bilan egri chiziqli
integrallar orasidagi bog’lanishni ifodalar edi. Uning uch karrali integraldagi analogi Ostrogradskiy formulasi deb yuritilib, u uch karrali integrallarni sirt integrallari bilan bog’laydi

sirt va z o’qiga parallel bo’lgan S3 silindrik sirtlar bilan chegaralangan V  jismni qaraylik. Bu jismning xy tekislikdagi proeksiyasi bulakli – silliq K  egri chiziq bilan chegaralangan bo’lsin.
Faraz qilaylik (V) sohada hosilalari bilan birga uzluksiz bo`lgan (sohaning chegarasidan tashqarisida) R(x,y,z) fuknsiyalar uchun
 (3.1)
Formulaga ega bo`lamiz. Bu erda S shu jism bilan chegaralangan sirt va o’ng tomondagi integral uning tomonlarining ichkarisi bo’yicha olingan.
.
Agar qaralayotgan sirtni integralga qo’llasak, (1.3) va (1.3*) formulalarga ko’ra

bo’ladi. Bunda o’ng tomondagi birinchi integral S2 sirtning yuqori tomoni bo’yicha ikkinchi integral esa S1 ning pastki tomoni bo’yicha olingan. Ushbu S3 sirtning tashqarisi bo’yicha olingan

integralni yuqoridagi tenglikning o’ng tomoniga qo’shsak tenglik o’zgarmaydi. Chunki bu
integral nolga teng. Bu uchta sirtlarni birlashtirsak (2.1) formulaga kelamiz. (2.1) formula
Ostrogradskiy formulasining xususiy holini ifodalaydi
Xuddi shunga o`xshash, agar (v) sohada va hosilalari bilan birga uzluksiz bo`lgan P(x,y,z) va Q(x,y,z) fuknsiyalar uchun
 (3.2)
 (3.3)
formulalarga ega bo’lamiz
Bu uchta (3.1), (3.2), (3.3) formulalarni qo’shib, Ostrogradskiyning umumiy formulasini hosil qilamiz:
(3.4)
Tenglikning o’ng tomonidagi integral ikkinchi tur sirt integralining umumiy
ko’rinishini ifodalaydi. Bu integral formula soha bo’yicha integralni shu sohani o’z ichiga
olgan yopiq sirt bo’yicha integralga almashtiradi.
Agar qaralayotgan sirt integralni birinchi tur deb qarasak, Ostrogradskiy formulasining
boshqa ko’rinishdagi integralini hosil qilamiz.
(3.5)
bu erda ,  , lar S sirtning ichki normalining koordinata o’qlari bilan tashkil etgan burchaklari.
Xulosa
Ushbu bitiruv malakaviy ishni o’rganish jarayonida quyidagi xulosalarga kelindi.
1. Uch karrali integrallarning hisoblash sohaga bog’liqligi va ularni hisoblash takroriy
integrallarga keltirilishi o’rganildi.
2. Matematik analizning umumiy kursida ikki karrali integrallarni o’rganayotganimizda
Grin formulasi bilan tanishganmiz. Bu formula ikki karrali integrallar bilan egri chiziqli
integrallar orasidagi bog’lanishni ifodalar edi.
3. Uning uch karrali integraldagi analogi Ostrogradskiy formulasi deb yuritilib, u uch
karrali integrallarni sirt integrallari bilan bog’laydi. Ushbu bog’lanish o’rganildi.
4. Uch o’lchovli fazodagi koordinatalar sistemalari, ya’ni silindirik, sferik elliptik va
boshqa sistemalar orasidagi bog’lanishlar o’rganildi.
5. Ushbu sistemalarda uch karrali integrallar hisoblandi. Ya’ni o’zgaruvchilarni
almashtirish yordamida karrali integrallar misollar yordamida o’rganildi.
6. Uch karrali integralning mexanikada tadbiqlari o’rganildi hamda aniq misollar
yordamida tekshirildi.