Ikki vektorning skalyar ko`paytmasi. Ikki vektor orasidagi burchak. Ikki vektorning parallellik va perpendikulyarlik shartlari

Ikki vektorning skalyar ko`paytmasi. Ikki vektor orasidagi burchak. Ikki vektorning parallellik va perpendikulyarlik shartlari
Vektor (matematika) (lot. vector — eltuvchi) — bu son qiymati va yoʻnalishi bilan aniqlanadigan kattalikdir, ya'ni vektor deb yoʻnalishga ega boʻlgan kesmaga aytiladi.
Vektor geometriyaning asosiy tushunchalaridan biri bo'lib, u son (uzunlik) va yo'nalishi bilan to'la aniqlanadi. Ko'rgazmali bo'lishi uchun uni yo'naltirilgan kesma ko'rinishida tasavvur qilish mumkin (1-rasmga qarang). Aslida vektorlar haqida gapirilganda, hammasi o'zaro parallel bir xil uzunlik va bir xil yo'nalishga ega bo'lgan yo'naltirilgan kesmalarning butun bir sinfini nazarda tutish to'g'riroq bo'ladi.Vektor nisbatan yangi matematik tushuncha hisoblanadi. «Vektor» terminining o'zi 1845 yilda Vilyam Rouen Gamilton tomonidan kiritilgan 1. Vektor tushunchasiga son qiymati va yo'nalishi bilan xarakterlanuvchi ob'ektlar bilan ish ko'rilganida duch kelinadi. Bunday ob'ektlarga kuch, tezlik, tezlanish kabi fizik kattaliklar misol bo'ladi. Vektor matematikaning turli bo'limlarida, masalan, elementar, analitik va differensial geometriya bo'limlarida qo'llaniladi. Vektorli algebra fizika va mexanikanig turli bo'limlariga, kristallografiyaga, geodeziyaga tatbiq qilinadi. Vektorlarsiz nafaqat klassik matematika, balki boshqa ko'plab fanlarni tasavvur qilib bo'lmaydi. Vektorlar ustida qo'shish va songa ko'paytirish, amallarini, vektorlarning skalyar, vektor va aralash ko'paytmalarini, vektorlarni baziz fazoda almashtirishni, vektorlarni proyeksiyalashni va shu kabi masalalarni o'rganish vektorli algebraning predmeti hisoblanadi.
Ikki vektorning skalyar ko 'paytmasi Skalyar ko'paytmaning ta 'rifi
1-ta'rif. Ikki a va b vektorning skalyar ko'paytmasi deb bu vektorlar uzunliklari bilan ular orasidagi burchak kosinusi ko'paytmasiga teng songa aytiladi va u ab (yoki a 'b yoki b ) ) kabi belgilanadi, ya'ni ab =| a | • | b | • cos^d bu yerda a va b vektorlar orasidagi burchak (bunda vektorlarning boshi bir nuqtaga qo'yiladi).
(7.1) formulani boshqa ko'rinishda yozish mumkin ya'ni ikki vektorning skalyar ko'paytmasi ulardan birining moduli bilan ikkinchi-sining birinchi vektor yo'nalishidagi o'qqa proeksiyasining ko'paytmasiga teng.
Skalyar ko'paytmaningxossalari
1-xossa. Ko 'paytuvchilarning o 'rin almashtirish xossasi:
ab = ba.
Isboti ab =| a | • | b | cos(a, b) = | b | • | a | cos(b , a) = ba.
2-xossa. Skalyar ko 'paytuvchiga nisbatan guruhlash xossasi:
(Aa)b = A(ab ).
Isboti. (7.2) formulaga ko'ra (Aa)b =|b | • Pri (Aa). Vektorning o'qdagi
• Pr. (Aa) = A • Pr.| a |
proeksiyasining 3-xossasiga asosan bV ' bl '.
Bundan
(Aa)b = b | • Pr.(Aa) = A | b | • Pr. | a |= A • (| b | Pr. | a |) = A(ab)
3-xossa. Qo 'shishga nisbatan taqsimot xossasi:
Skalyar ko’paytmaning ta’rifidan ya’ni
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cosα ⟹ cosα = 𝑎∙𝑏 𝑎 𝑏 kelib chiqadi. formulani 𝑎 va 𝑏 vektor orasidagi burchakni topish formulasi deyiladi. Agar 𝑎 va 𝑏 vektorlar koordinatalari bilan berilgan bo’lsa, ya’ni 𝑎 (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) va (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) u holda bu vektorlar orasidagi burchak
cosα = (𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2)/ ((𝑥²₁+ 𝑦²₁ + 𝑧²₁)∙ (𝑥²₂ + 𝑦²₂ + 𝑧²₂))formuladan aniqlanadi.
Ikki vektorning parallellik va perpendikulayarlik sharti
1.Parallellik sharti.
Agar 𝑎 ║𝑏 bo’lsa, u holda
𝑎 =m𝑏 yoki 𝑎𝑥 /𝑏𝑥 = 𝑎𝑦/𝑏𝑦 = 𝑎𝑧/𝑏𝑧 = 𝑚 formula o’rinli bo’ladi.
2. Perpendikulyarlik sharti.
Agar 𝑎 ⊥𝑏 bo’lsa, u holda 𝜑 = 90° va cos𝜑 = 0 ga teng bo’ladi. Ikki tekislik orasidagi burchak. Tekisliklarning parallellik va perpendikulyarlik shartlari
Kesishuvchi va tekisliklar mos ravishda

( tekislik) va ( tekislik) tenglamalari yordamida berilgan bo’lsin. Ikki tekislik orasidagi burchak deganda tekisliklar tashkil etgan ikki yoqli burchaklardan biri tushuniladi. Q1 va Q2 tekisliklarning normal vektorlari va orasidagi burchak ana shu burchaklardan birini ifodalaganligi uchun tekisliklar orasidagi burchakni topish ularning normal vektorlari orasidagi burchakni topishga keladi (6-rasm).

6-rasm

va
vektorlar orasidagi burchak
(7.9)
formula yordamida topilishini bilamiz. Ana sha formula Q₁ va Q₂ tekisliklar orasidagi burchakni topish formulasi bo’lib xizmat qiladi.