Ikkinchi tartibli egri chiziqlar. Giperbola va Parabola

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar.

Reja.

• Kirish
• Aylana va uning tenglamasi
• Ellips va uning kanonik tenglamasi
• Giperbola va uning kanonik tenglamasi.
• Parabola va uning tenglamasi.

1. Kirish

Biz oldingi ma’ruzalarda har qanday har qanday to’g’ri chiziqning tenglamasi 𝑥 va 𝑦 o’zgaruvchilarga nisbatan birinchi darajali 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 tenglamadan iborat bo’lishligi bilan tanishdik.

Bugungi ma’ruzada ikkinchi tartibli chiziqlar ya’ni tenglamasi 𝑥 va 𝑦 o’zgaruvchilarga nisbatan ikkinchi darajali bo’lgan chiziqlar bilan tanishamiz.

Ta’rif. To’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida tenglamasi ushbu

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (1)

ko’rinishdan iborat bo’lgan chiziqlarga ikkinchi tartibli egri chiziqlar deyiladi. Bu yerda 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 − haqiqiy sonlar bo’lib, 𝐴, 𝐵, 𝐶 lardan kamida biri noldan farqli bo’lishi kerak.

2. Aylana va uning kanonik tenglamasi.

2-Ta’rif. Berilgan markaz deb ataluvchi 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) nuqtadan bir xil uzoqlikda yotuvchi nuqta- larning geometrik o’rniga aylana deyiladi.

Aylana tenglamasini tuzamiz. Berilgan nuqta ya’ni markaz

𝑀0(𝑥0, 𝑦0) bo’lsin. Aylanaga tegishli ixtiyoriy 𝑀 𝑥, 𝑦

nuqtani olamiz.

Ta’rif. Giperbola deb shunday nuqtalarning geometrik o’rniga aytiladiki, ularning har biridan berilgan 𝐹1 va 𝐹2 nuqtalargacha (fokuslargacha) bo’lgan masofalar ayirmasining absolyut qiymati o’zgarmas 2𝑎

(0 < 2𝑎 < 𝐹1𝐹2) nuqtadan iborat.

Giperbolaning eng sodda tenglamasini keltirib chiqaramiz.

Giperbola tenglamasini hosil qilish uchun Dekart koordinatalar sistemasida 𝐹1 va 𝐹2 nuqtalarni 𝑂𝑥 o’qi bo’ylab koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo’lgan 𝑐 masofada joylashtiramiz. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan

F M  (x  c)2  ( y  0)2

 (x  c)2  y2  2a

(x  c)2  y2

2

Bundan

(x  c)2  y2

F M  (x  c)2  ( y  0)2

 (x  c)2  y2



1

4a2  4cx  4a (x  c)2  y2

a2  cx  a (x  c)2  y2

bundan

 (x  c)2  y2

(x  c)2  y2  2a  (x  c)2  y2 , (x  c)2  y2  4a2  4a (x  c)2  y2

a4  2a2cx  c2 x2  a2 (x2  2xc  c2  y2 ) (c2  a2 )x2  a2 y2  a2 (c2  a2 )

c2  a2  b2

𝑥2 − 𝑦2=1 (1)

𝑎2 𝑏2

(1) tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi.

𝐴 𝑎, 0 va 𝐴1 −𝑎, 0 nuqtalar giperbolaning uchlari, 𝑎 parameter haqiqiy yarim o’q, 𝑏 esa mavhum yarim o’qi deyiladi.

𝑎

Ushbu 𝜀 = 𝑐 nisbat giperbolaning ekstsentrisiteti

deyiladi.

𝑀(𝑥, 𝑦) nuqtadan fokuslargacha bo’lgan masofalar

𝑟1,2 = 𝜀𝑥 ± 𝑎

formulalar bilan aniqlanadi.

𝜀

𝑥 = ± 𝑎 chiziqlar giperbolaning direktrisalari deyiladi.

Giperbolaning xossalari:

1) Giperbola koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lgan egri chiziqdir.

𝑎

2) 𝑦 = ± 𝑏 𝑥 to’g’ri chiziqlar giperbolaning

asimptotalari bo’ladi, ya’ni bu to’g’ri chiziq 𝑥 ning cheksiz kattalashib borishi bilan giperbolaga brogan sari yaqinlashib boradi.

Parabola va uning tenglamasi

Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini olaylik. Bu tekislikda 𝑂𝑦 o’qiga parallel to’g’ri chiziq va bu to’g’ri chiziqqa tegishli bo’lmagan 𝐹 𝑎, 0 nuqta berilgan bo’lsin. Bu to’g’ri chiziq va 𝐹 nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni parabola deyiladi.

𝐹 nuqta parabolaning fokusi qaralayotgan to’g’ri chiziq esa uning direktrisasi deb ataladi.

Parabola tenglamasini hosil qilish uchun 𝐹 nuqtani 𝑂𝑥

2

o’qi bo’ylab koordinata boshidan 𝑝 masofada (𝑝>0)

joylashtiraylik.

2

Uning direktrisasi esa 𝑥 = − 𝑝 toi’g’ri chiziq bo’lsin.

Parabolaning ixtiyoriy 𝑀(𝑥, 𝑦) nuqtasini qaraylik. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra

(𝑥 − 𝑝)2+𝑦2=𝑥 + 𝑝 2 2

bo’ladi. Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshirib topamiz.

Bu tenglama parabolaning kanonik tenglamasi deyiladi.

y2

 2 px