Ikkinchi tartibli egri chiziqlar

Mavzu: Ikkinchi tartibli egri shiziqlarni proektiv xususyatlariga asoslanib chizish.

Reja:

1. 
   Ikkinchi tartibli egri chiziqlar
   
2. 
   Fazoda analitik geometriya elementlari.Fazoda tekislik
   
3. 
   Giperbola va uning kanonik tenglamasi
   
4. 
   Parabola va uning kanonik tenglamasi
   

1. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar haqida tushuncha. Ellips va uning kanonik tenglamasi.

Chiziq tenglamasi koordinatalar sistemasining joylashishiga qarab turli ko`rinishda bo`lishi mumkin. Koordinatalarni almashtirish yordamida chiziqning ixtiyoriy shakldagi tenglamasini sodda (kanonik) ko`rinishga keltirish mumkin.

Ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy ko`rinishdagi tenglamasi deb,

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0 (A² + B² + C² ≠ 0)

shakldagi tenglamaga aytiladi.

O`rta maktab matematikasida o`rganilgan aylana ikkinchi tartibli egri chiziqlar jumlasiga kiradi. Buning tasdig`i sifatida aylanaga berilgan ta`rifni va uning sodda tenglamasini eslash kifoya. Tekislikda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi tanlangan bo`lib, koordinatalar tekisligida markaz deb ataluvchi M<sub>0</sub>(a; b) nuqtadan teng radius deb ataluvchi R masofada yotuvchi nuqtalar to`plami (geometrik o`rni) bo`lmish aylana quyidagi

(x – a)² + (y – b)² = R²

tenglama bilan aniqlanadi (1–rasm ).

Ushbu tenglama aylananing kanonik tenglamasi deyiladi. Markazi koordinatalar boshida va R radiusli aylana x² + y² = R² tenglama vositasida ifodalanadi.

1- rasm.

Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli egri chiziq aynan aylanani aniqlashi uchun uning koeffitsientlari quyidagi munosabatlarni bajarishi yetarli:

A = C , B = 0 va D² + E² – AF > 0 .

Tekislikda fokuslari deb ataluvchi berilgan F₁ va F₂ nuqtalargacha bo`lgan masofalari yig`indisi o`zgarmas kattalikka (fokuslar orasidagi masofadan katta) teng nuqtalar to`plamiga ellips deyiladi.

Agar o`zgarmas kattalikni 2a, fokuslar orasidagi masofani esa 2c bilan belgilasak va tekislikda ox abssissa o`qi fokuslari orqali o`tuvchi, koordinatalar boshi F<sub>1</sub>F<sub>2</sub> kesmaning o`rtasida joylashgan koordinatalar sistemasi tanlasak, ellips tenglamasi soddalashadi va quyidagi kanonik ko`rinishga keladi

, bu yerda b ² = a ² – c ² ( a > c ).

Ushbu holda ellips fokuslari: F₁(-c; 0), F₂(c; 0) (2-rasm ).

Koordinatalar boshi 0 nuqta ellipsning simmetriya markazi, koordinata o`qlari esa uning simmetriya o`qlari hisoblanadi.

A₁(-a; 0), A₂(a; 0), B₁(0; -b), B₂(0; b) nuqtalarga ellipsning uchlari, 0A₂ = a va 0A₁= b kesma uzunliklariga uning mos ravishda katta va kichik yarim o`qlari deyiladi.

Shunday qilib, ellips ikki simmetriya o`qlariga va simmetriya markaziga ega qavariq yopiq chiziqdir.

kattalikka ellipsning ekstsentrisiteti deb ataladi va har qanday ellips uchun ε < 1 munosabat o`rinli. Ekstsentrisitet ellipsning cho`zinchoqligini xarakterlaydigan kattalikdir.

Aylana ellipsning xususiy holi bo`lib, ekstsentrisiteti 0 ga teng yoki katta va kichik yarim o`qlari teng bo`lgan ellipsdir.

Simmetriya markazi (x₀; y₀) nuqtada va simmetriya o`qlari koordinata o`qlariga parallel ellips tenglamasi quyidagi ko`rinishdan iborat:

Masala. D(2; 0) nuqtaga x = 8 to`g`ri chiziqqa qaraganda ikki marta yaqinroq masofada joylashadigan M(x, u) nuqtalarning harakat traektoriyasini aniqlang.

.

2-rasm. 3-rasm.

M nuqta harakat traektoriyasini tekislikda 2DM = MK tenglamani qanoatlantiruvchi M nuqtalar to`plami sifatida aniqlaymiz (3-rasm). Koordinatalar tekisligida ikki nuqta orasidagi masofani va nuqtadan vertikal to`g`ri chiziqqacha masofani topish formulalarini qo`llab,

tenglamani olamiz va uni soddalashtirsak, ko`rinishga keladi. Shunday qilib, M nuqta ellips bo`ylab harakatlanadi, ellipsning katta o`qi va fokuslari ox abssissa o`qida joylashadi (3-rasm).