Iqtidorli talabalar, magistrantlar, tayanch doktorantlar va doktorantlarning tafakkur va talqin

Iqtidorli talabalar, magistrantlar, tayanch doktorantlar va doktorantlarning ilmiy maqolalar 
to’plami – 2022 
 
76 
masalasi. Ω sohada (1) tenglamani quyida berilgan chegaraviy shartlarni 
qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping: 
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝜑(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜎
, 
i 
→
𝜕𝑈
𝜕𝑦
= 𝜈
(𝑥), 0 𝑥 1 , 
i 
→
𝜕𝑈
𝜕𝑥
= 𝜈
(𝑦), 0 𝑦 1, 
bunda 
𝜑(𝑥, 𝑦), 𝜈
(𝑥), 𝜈
(𝑦) – berilgan uzluksiz funksiyalar.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 
𝐼
= {(𝑥, 𝑦)}: 0 𝑥 1, 𝑦 = 0, 𝐼
{(𝑥, 𝑦): 𝑥 = 0, 0 𝑦 1}, 
2𝑝 = 𝑚 + 2,
2𝛽 =
𝑚
𝑚 + 2
. 
Ta'rif. (1) tenglamani 
sohada regulyar yechimi deb, (1) tenglamani qanaotlantiruvchi 
𝑈(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶(Ω
̅) ∩ 𝐶
(Ω) funksiyaga aytiladi [1-4].
Quyidagi lemma o’rinli. 
 
Lemma. Faraz qilamiz 
𝑓(𝑥, 𝑦) funksiya birinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lsin 
va
Ω sohaning chegarasida yetarli tartibda nolga aylansin. U holda 
𝑈(𝑥, 𝑦) = − ∬ 𝑓(𝜉, 𝜂)𝐺
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦)𝑑𝜉𝑑𝜂
funksiya (7) tenglamaning regulyar yechimi bo’ladi va
𝑈(𝑥, 𝑦)|
= 0, i 
→
𝜕𝑈
𝜕𝑦
= 0, i 
→
𝜕𝑈
𝜕𝑥
= 0
chegaraviy shartni qanoatlantiradi, bu yerda 
𝐺
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦) −
𝑦
𝑈
+ 𝑥
𝑈
= 0 
tenglama uchun
chegaraviy masalasini Grin funksiyasi bo’lib, quyidagi 
ko’rinishga ega [3]: 
𝐺
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦) = 𝑞
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦) − (𝑟
)
𝑞
(𝜉, 𝜂: 𝑥 , 𝑦̅) 
где 

---

Iqtidorli talabalar, magistrantlar, tayanch doktorantlar va doktorantlarning ilmiy maqolalar 
to’plami – 2022 
 
77 
𝑞
(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦) =
(𝑟
𝑟
)
𝐹(𝛽, 𝛽, 2𝛽, 1 − )  
=
4
Γ
(𝛽)
𝜋Γ(2𝛽)
, 2𝛽 =
𝑚
𝑚 + 2
,  
𝑟
, 
= (𝜉
± 𝑥
)
+ (𝜂
± 𝑦
)
,
𝑟
, 
= (𝜉
± 𝑥
)
+ (𝜂
± 𝑦
)
, 
𝑟
= 𝑥
+ 𝑦
,
𝑥 
= 𝑥
𝑟
⁄
,
𝑦̅
=
𝑦
𝑟
, 
Berilgan funksiyalarga tegishli shartlar qo’yilib, yechimning yagonaligi (agar 
mavjud bo’lsa) isbotlanadi. Masala yechimining mavjudligini isbotlashda ketma-ket 
yaqinlashish usulidan foydalanilgan. 
Ikkita buzilish chizig’iga ega ikkinchi tartibli elliptik, giperbolik va aralash tipdagi 
tenglamalar uchun chegaraviy masalalar [6-11] maqolalarda o’rganilgan.