Исследование в XXI веке февраль, 2023 г 239 birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning taxminiy yechimi

Tayanch so‘z va iboralar: Chebishev polinomlari, Gauss-Lobatto to‘plamlari, Spektral 
usul, Chebishev matritsasi. 
 
ASOSIY QISM 
Spektral usullar - amaliy matematika va hisoblashda ko‘p differensial tenglamalarni 
sonli yechish uchun qo‘llaniladigan usullar sinfi. Ushbu usulning g'oyasi differensial 
tenglamaning kerakli yechimini ma'lum asosiy funktsiyalar yig'indisi sifatida ko'rsatishdan 
iborat.
Spektral usul va chekli elementlar usullari bir-biri bilan bevosita chambarchars bog‘liq 
va bir xil g‘oyalarga asoslanadi. Ularning orasidagi farq shundaki, spektral usullar butun 
domenda nolga teng bo‘lmagan asos funktsiyalaridan foydalanadi, chekli elementlar 
usullari esa faqat kichik subdomenlarda nolga teng bo‘lmagan asosiy funktsiyalardan 
foydalanadi. Boshqacha qilib aytganda, spektral usullar global yondashuvdan, chekli 
elementlar usullari esa lokal yondashuvdan foydalanadi. Aynan shuning uchun spektral 
usullar mukammal yaqinlashuvni ta'minlaydi, ularning "eksponensial yaqinlashuvi" yechim 
silliq bo'lganda eng tez bo'ladi. 

---

Международный научный журнал № 7 (100), часть 1 
«Новости образования: исследование в XXI веке» февраль, 2023 г
240 
Berilgan dastlabki shartlarga ega oddiy differensial tenglamani raqamli yechishning 
spektral usullari ko'pincha differensial munosabatlarning bajarilishini ta'minlaydigan 
boshlang'ich shartlarni ham, shartlarni ham o'z ichiga olgan chiziqli algebraik tenglamalar 
tizimini echishga qisqartiriladi. Biroq, chiziqli tenglamalar tizimiga dastlabki (chegaraviy) 
shartlarning apriori kiritilishi matritsalarni to'ldirishning sezilarli darajada oshishiga va 
natijada, masalani hal qilish algoritmi va usulining murakkablashishiga olib keladi.[1] 
Yana qiziqarli yondashuvdan biri bu chegara shartlarini avtomatik ravishda hisobga 
oladigan asosni tanlashdir. Bu boshlang‘ich muammoning SLAE ni shakllantirishda ko‘p 
ishlatiladigan usul bo‘lib, tabiiy yo‘l bilan asosni yaratishda zarur bo‘lgan boshlang‘ich 
(chegara) shartlarini hisobga olishga qisqartiradi, ya’ni, har bir bazis funksiyasi avvalgi 
shartlarni qanoatlantiradigan bazis tanlanadi. Ushbu yondashuv yordamida olingan yechim 
avtomatik ravishda dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan funktsiyalar sinfida qidiriladi. 
Biroq, bu holda yangi asosiy funktsiyalar bilan ishlash ancha murakkablashadi. 
Bir guruh mualliflar tomonidan taklif etilgan yondashuvga ko`ra, birinchi navbatda, 
kutilayotgan yechim hosilasini interpolyatsiya qilish (kollokatsiya)ning barqaror va 
hisoblash jihatdan sodda usuli yordamida differentsial tenglamani qanoatlantiradigan 
funksiyalar sinfi (to'plami) tanlanadi. Keyin kutilayotgan yechimning kengayish 
koeffitsientlari (ba'zilaridan tashqari) integratsiya matritsasi yordamida hosilaning 
hisoblangan kengayish koeffitsientlari nuqtai nazaridan aniqlanadi. Shundan keyingina 
ushbu yechimlar to'plamidan berilgan boshlang'ich shartlarga mos keladiganlari 
tanlanadi.[2] 
Bu yerda biz asosiy muammoni mustaqil kichik muammolarga bo‘lish va yechimning 
tarkibiy qismlarini alohida-alohida yechim hosilasini aniqlaydiganlar va chegaraviy shartlar 
bilan belgilanadiganlar qismlarga ajratilgan. Shunday qilib, muammo ikkita mustaqil kichik 
muammoga bo'linadi, ularning har biri barqaror va oddiy echimga imkon beradi. Eng oddiy 
holatda birinchi muammoni hal qilish o'ng tomonning vektorini Gauss-Lobatto tarmog'idagi 
Chebishev funktsiyalari qiymatlari matritsasiga ko'paytirishga keltiriladi. Keyingi bosqichda 
biz SLAE ni diagonal musbat aniq matritsa bilan yechamiz va natijada chapdagi vektorni ikki 
diagonali matritsaga ko'paytiramiz, teskari (anti-hosil) differensiatsiyaning spektral 
Chebishev matritsasi bo'yicha, biz hamma natijani olamiz. Birinchisi tashqari istalgan 
yechimning kengayish koeffitsientlari. Ikkinchisi «eng qiyin» bosqichda, biz bu 
koeffitsientga nisbatan birinchi tartibli chiziqli algebraik tenglamani yechib, bazis 
ko'phadlar nuqtai nazaridan yechimni kengaytirishning birinchi koeffitsientini aniqlaymiz.