Международный научный журнал № 7 (100), часть 1
«Новости образования: исследование в XXI веке» февраль, 2023 г
242
hisoblash kerak.. Chebishev polinomlarida kengayish koeffitsientlariga faqat 2𝑁 boʻlinish va
2𝑁 qoʻshimcha qiymatlar kerak bo'ladi.
Koshi masalasini Runge-Kutta-Felberg usulida yechish uchun biz yuqorida [𝑎, 𝑏]
bo‘yicha hisoblangan to‘rning har bir subintervalida RKF45 algoritmini qo‘lladik.
Eng oddiy masala yechimini izlashda algoritmlar solishtiriladi.
Runge-Kutta usulida aniqlikni avtomatik nazorat qilish bilan amalga oshirilgan
hisoblash butun intervalda funktsiya qiymatlarining 800 ga yaqin hisobini talab qildi.
Noma'lumlarni ajratishning ikki bosqichli usuli uchun hisoblangan qiymatlarning to'r
nuqtalarida aniq qiymatlardan chetga chiqish natijalari 1- jadvalda keltirilgan.
Hisoblangan qiymatlarning aniq qiymatlardan chetga chiqishi
To‘r nuqtalari soni
11
13
15
30
Maksimal og`ish
<4 ⋅ 10
−7
<5 ⋅ 10
−9
<2 ⋅ 10
−13
<10
−19
Koshi muammosini yechishning yana bir nechta namunaviy misollarini ko‘rib chiqing,
ya'ni berilgan hosilalar va boshlang'ich shartdan funktsiyalarni tiklash. Chebishev
matritsalari yordamida fizik fazoda differentsiallash matritsalari
yordamida hosilalarni
hisoblashning aniqligidan funksiyalar model sifatida o‘rganildi. Tanlangan misollar
yaqinlashuv nuqtalari soniga bog'liq holda hosilalarni hisoblashning aniqligini tizimli
ravishda ko'rsatadi.
Turli silliqlik bilan tavsiflangan to'rtta funktsiya ko'rib chiqiladi: |𝑥3 |, exp(−𝑥
−2
), 1/(1 +
𝑥
2
) VA 𝑥
10
Birinchi funksiya uchinchi hosilaga ega chegaralangan o'zgaruvchanlik, ikkinchi
funktsiya silliq, ammo analitik emas uchinchisi *−1, 1+ yaqinida analitik, to‘rtinchisi esa
polinom. Biz tomonidan olingan yechimlarning aniqligi
bir xil miqdordagi birikma
nuqtalaridan foydalanganda Trefethen yechimlaridan 1,5-3 darajaga yaxshiroq[2].
1-rasm Taxminan nuqtalar soniga qarab silliqlikni oshiruvchi to'rtta funktsiya uchun
hosilalarni tiklashning aniqligi
Международный научный журнал № 7 (100), часть 1
«Новости образования: исследование в XXI веке» февраль, 2023 г
243
XULOSA
Differensial tenglamalarni yechishda asosan yechimning mahalliy yaqinlashuviga
asoslangan usullar mavjud bo’lib, ularda birinchi navbatda dastlabki yaqinlashish (chegara
shartlari) qo’llaniladi.
Bular Eyler, Runge-Kutta usuli va boshqalar kabi usullardir. Global
funktsiyalardan foydalangan holda yechimni yaqinlashtirishga asoslangan boshqa usullar
[global kolokatsiya usullari - Meyson, Boyd, Fornberg, Iserles, Townsend]
bir vaqtning
o'zida boshlang'ich (chegaraviy) shartlarni va shartlarni o'z ichiga olgan tenglamalar tizimini
qurishga asoslangan. Noma'lumlarni ajratishning ikki bosqichli usuli uchun hisoblangan
qiymatlarning to'r nuqtalarida aniq qiymatlardan chetga chiqish natijalari 1- jadvalda
keltirilgan.
Raqamli usullarni qo'llash nuqtai nazaridan, ehtimol,
eng istiqbolli bu Yakobi
polinomlarining ma'lum bir holatini - Chebyshev ko'phadlarini o'ziga xos asos funktsiyalari
sifatida ishlatishdir. Chebishev polinomlari ODE yechimining deyarli optimal yaqinlashuvini,
diskret ortogonallik shartidan foydalanish uchun Gauss-Lobatto panjarasini hisoblash
qulayligini va izlanayotgan yechimlarning differentsiallash va integratsiya matritsalarini
qurish qulayligini aniqlovchi uch muddatli munosabatlarni ta'minlaydi. Dastlabki
(chegaraviy) shartlar dastlabki masalani echishning ikkinchi bosqichida ko'rib chiqiladi, bu
aslida bitta noma'lum koeffitsientli chiziqli tenglamani yechishga qisqartiriladi.
Birinchi
muammoning echimi Gauss-Lobatto to'ridagi Chebishev funktsiyalari qiymatlari
matritsasini aniqlash uchun dastlabki differentsial tenglamaning o'ng tomonini
aniqlaydigan funktsiya qiymatlari vektoriga ko'paytirishga keltiriladi. Keyinchalik, ikki
diagonalli integratsiya matritsasini koeffitsientlar vektoriga ko'paytirish,
birinchisidan
tashqari, istalgan yechimning barcha koeffitsientlarini beradi. Ikkinchi bosqichda dastlabki
(chegara) shartdan foydalanish eritmaning kengayishining birinchi koeffitsientini aniqlash
imkonini beradi. Birinchi darajali ODElarni echish muammosini ikkita kichik muammoga
bo'lishga asoslangan yondashuv juda istiqbolli ko'rinadi.
10>2>5>4>
Dostları ilə paylaş: