Международный научный журнал № 7 (100), часть 1
«Новости образования: исследование в XXI веке» февраль, 2023 г
241
Funksiyalarni integrallashning raqamli usullari nazariy va amaliy nuqtai nazardan
yaxshi ishlab chiqilganligi sababli, ularni umumiy shakldagi oddiy differensial
tenglamalarning sonli yechimiga qo‘llash tabiiy ko'rinadi.
𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)), 𝑥 ⩾ 𝑥
0
, 𝑦(𝑥
0
) = 𝑦
0
Runge-Kutta tipidagi usullarning rivojlanishi va keng qo'llanilishini tabiiy ravishda
tushuntirib beradigan fakt aynan mana shu.
Hosilning yaqinlashishi. Cauchy muammosi
Birinchidan, funktsiyani uning hosilasi va ba'zi (bir) qo'shimcha shartidan aniqlash
(qayta tiklash) masalasini ko'rib chiqing. Ushbu formulada muammo tabiiy ravishda ikkita
kichik shartga bo'linadi:
— hosilaning ko'p nomli interpolyatsiyasi (bazis funksiyalarida lotinning chekli qatorga
kengayish koeffitsientlarini hisoblash)
— kerakli funktsiyaning koeffitsientlarini hisoblash. Boshlang‘ich (chegara va
boshqalar) sharti va hosila kengayish koeffitsientlari.
Umumiylikni yo'qotmasdan, biz ta'rif sohasi yechim [-1;1]oraliqdabdeb taxmin
qilamiz.
Ko'pincha uzluksiz funktsiyalarning yaqinlashuvi kattaligi kichik bo'lgan Chebishev
qatorining shartlarini bekor qilish orqali olinadi. Boshqa darajali qatorlar yordamida olingan
yaqinlashuvlardan farqli o'laroq, Chebishev ko'phadlarida (deyarli optimal bo'lish
xususiyatiga ega) yaqinlashish berilgan aniqlikdagi ko'phadlar orqali funktsiyani
yaqinlashtirish uchun zarur bo'lgan atamalar sonini minimallashtiradi. Bu Chebishev
qatoriga asoslangan yaqinlashish eng yaxshi yagona yaqinlashuvga (bir xil darajadagi
ko'phadlar orasida) yaqin bo'lishi, ammo topish osonroq bo'lgan xususiyat bilan bog'liq.
Bundan tashqari, bu interpolatsiya nuqtalarini oqilona tanlash bilan Gibbs effektidan
qochish imkonini beradi.
Dostları ilə paylaş: