2
Математика
3
2
1
0
n
n
n
n
x
ax
bx
cx
+
+
+
+
+
+
=
,
(1)
где
, ,
a b c
∈R
детально проводилось в [1, 3, 5]. В работе [1] получены условия осциллируемости (колебательности)
решений уравнения (1) в виде неравенств — ограничений на коэффициенты уравнения. В работе [5] полностью описана
область асимптотической устойчивости уравнения (1) и поведение решений этого уравнения на границе области.
Сформулируем необходимые определения.
Определение 1. Решение
( )
n
x
уравнения (1) называется периодическим с периодом
k N
∈
(k-циклом или k-
периодическим), если для всех
n N
∈
.
n k
n
x
x
+
=
Определение 2. Решение
( )
n
x
уравнения (1) называется предельным k-циклом, если существуют
последовательности
( )
n
u
и
( )
n
v
такие, что
( )
n
u
— k-периодическая,
lim
0,
n
n
v
→∞
=
и для всех
n N
∈
.
n
n
n
x
u
v
= +
Известно [4], что периодические решения возникают на границе области асимптотической устойчивости. Для
периодичности всех решений уравнения (1) необходимо, чтобы характеристический многочлен уравнения (1)
3
2
( )
P
a
b
c
λ = λ + λ + λ +
имел простые комплексно сопряженные корни, по модулю равные 1 или простой действительный корень
1
−
.
Используя результаты работы [5], в этой статье мы описываем все возможные значения коэффициентов уравнения
(1), при которых каждое решение является либо чисто периодическим, либо предельным циклом.
Основные результаты
Случай 1. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе
,
1
3
1
a
b
b
c
= −
− < <
= −
.
Общее решение уравнения (1) имеет вид
1
2
3
cos( )
sin( )
n
x
С
С
n
С
n
= +
φ +
φ
.
Зададим начальные условия
0
1
2
, ,
x x x
. Тогда, решая систему
0
1
2
1
1
2
3
2
1
2
3
,
cos
sin ,
cos2
sin2
x
C
C
x
C
C
C
x
C
C
C
= +
= +
φ +
φ
= +
φ +
φ
относительно
1
2
3
, ,
C C C
, получаем:
0
1
2
1
2 cos
,
2cos
2
x
x
x
C
− +
φ −
=
φ −
0
1
2
2
(2cos
1) 2 cos
,
2cos
2
x
x
x
C
φ − −
φ +
=
φ −
0
1
2
3
2 (1 cos )
.
2sin
x
x
x
C
− +
+
φ −
=
φ
В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде
3
2
2
( )
1 (
1)(
(
1)
1) (
1) ( )
P
a
a
a
Q
λ = λ + λ − λ − = λ − λ + + λ + = λ −
λ
.
При
3
1
a
− < <
многочлен
( )
Q
λ
имеет два комплексно сопряженных корня:
2
1,2
1
1
(
1)
3 2
2
2
a
a a i
λ = −
+ ± ⋅
−
−
⋅ таких,
что
1
arg ,
φ =
λ
2
3 2
tg
1
a a
a
−
−
φ = −
+
.
Преобразуем решение
1
2
3
cos( )
sin( )
n
x
С
С
n
С
n
= +
φ +
φ
, применив метод введения вспомогательного угла. Получим
2
2
1
2
3
0
sin(
)
n
x
C
C
C
n
= +
+
⋅
φ + φ , где
2
2
2
3
0
C
C
+
≠
.
Введем величину
2
2
0
0
2
3
(sin(
(
) ) sin(
))
.
n k
n k
n
x
x
x
n k
n
C
C
+
+
∆
=
−
=
φ + + φ −
φ + φ
+
Решение уравнения (1) является k-
периодическим тогда и только тогда, когда
0
n k
x
+
∆
=
. Получаем, что
0
2 cos(
) sin
0.
2
2
k
k
n
φ
φ
⋅
φ + φ +
⋅
= Это равенство
выполняется для всеx
n
тогда и только тогда, когда
,
,
,
2
2
k
m
m
m Z k N
k
φ
φ
= π ⇒
=
∈
∈
π
. Получаем следующее
Утверждение 1. Если коэффициенты
, ,
a b c
уравнения (1) удовлетворяют системе
,
1
3,
1
a
b
b
c
= −
− < <
= −
то все решения
уравнения (1) являются периодическими тогда и только тогда, когда
2
Q
φ
∈
π
, где
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− − +
−
−
⋅
φ =
2
3 2
tg
1
a a
a
−
−
φ = −
+
.
Замечание. Если
2
2
2
3
0
C
C
+
=
, т. е. начальные условия удовлетворяют равенствам
1
2
0
2
cos
1 2cos
1
x
x
x
− =
=
φ −
φ −
, то
решение имеет вид
1
n
x
С
=
.
Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе
,
1
3
1
a b
b
c
=
− < <
=
.
Общее решение уравнения (1) имеет вид
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
.
Зададим начальные условия
0
1
2
, ,
x x x
. Тогда, решая систему
0
1
2
1
1
2
3
2
1
2
3
,
cos
sin ,
cos2
sin2
x
C
C
x
C
C
C
x
C
C
C
= +
= − +
φ +
φ
= +
φ +
φ
относительно
1
2
3
, ,
C C C
, получаем:
0
1
2
1
2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
−
φ +
=
+
φ
0
1
2
2
(1 2cos ) 2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
+
φ +
φ −
=
+
φ
0
1
2
3
(1 2cos ) 2 (1 cos )
.
2sin
x
x
x
C
−
φ +
−
φ +
=
φ
В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде
3
2
2
( )
1 (
1)(
(
1)
1) (
1) ( )
P
a
a
a
Q
λ = λ + λ + λ + = λ + λ + − λ + = λ +
λ
.
При
1
3
a
− < <
многочлен
( )
Q
λ
имеет два комплексно сопряженных корня:
2
1,2
1
1
(1
)
3 2
2
2
a
a a i
λ =
− ± ⋅
+
−
⋅ таких,
что
1
arg ,
φ =
λ
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
.
Преобразуем решение
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
, применив метод вспомогательного угла. Получим
2
2
1
2
3
0
( 1)
sin(
)
n
n
x
C
C
C
n
=
−
+
+
⋅
φ + φ , где
2
2
2
3
0
C
C
+
≠
.
Тогда
(
)
2
2
1
0
0
2
3
( 1)
( 1)
(sin(
(
) ) sin(
))
.
n k
n
n k
n k
n
x
x
x
C
n k
n
C
C
+
+
+
∆
=
−
=
−
− −
+
φ + + φ −
φ + φ
+
Равенство
0
n k
x
+
∆
=
возможно
только при четном k и
,
2
k
m m Z
φ
= π
∈ . Получаем следующее
Утверждение 2. Если коэффициенты
, ,
a b c
уравнения (1) удовлетворяют системе
,
1
3,
1
a b
b
c
=
− < <
=
то все решения
уравнения (1) являются периодическими с четным периодом тогда и только тогда, когда
2
Q
φ
∈
π
, где
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− +
+
−
⋅
φ =
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
.
Замечание. Если
2
2
2
3
0
C
C
+
=
, т. е. начальные условия удовлетворяют равенству
0
1
2
x
x
x
= − =
, то решение имеет вид
1
( 1)
n
n
x
С
=
−
и является периодическим, с периодом 2.
Утверждение 1. Если коэффициенты
, ,
a b c
уравнения (1) удовлетворяют системе
,
1
3,
1
a
b
b
c
= −
− < <
= −
то все решения
уравнения (1) являются периодическими тогда и только тогда, когда
2
Q
φ
∈
π
, где
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− − +
−
−
⋅
φ =
2
3 2
tg
1
a a
a
−
−
φ = −
+
.
Замечание. Если
2
2
2
3
0
C
C
+
=
, т. е. начальные условия удовлетворяют равенствам
1
2
0
2
cos
1 2cos
1
x
x
x
− =
=
φ −
φ −
, то
решение имеет вид
1
n
x
С
=
.
Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе
,
1
3
1
a b
b
c
=
− < <
=
.
Общее решение уравнения (1) имеет вид
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
.
Зададим начальные условия
0
1
2
, ,
x x x
. Тогда, решая систему
0
1
2
1
1
2
3
2
1
2
3
,
cos
sin ,
cos2
sin2
x
C
C
x
C
C
C
x
C
C
C
= +
= − +
φ +
φ
= +
φ +
φ
относительно
1
2
3
, ,
C C C
, получаем:
0
1
2
1
2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
−
φ +
=
+
φ
0
1
2
2
(1 2cos ) 2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
+
φ +
φ −
=
+
φ
0
1
2
3
(1 2cos ) 2 (1 cos )
.
2sin
x
x
x
C
−
φ +
−
φ +
=
φ
В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде
3
2
2
( )
1 (
1)(
(
1)
1) (
1) ( )
P
a
a
a
Q
λ = λ + λ + λ + = λ + λ + − λ + = λ +
λ
.
При
1
3
a
− < <
многочлен
( )
Q
λ
имеет два комплексно сопряженных корня:
2
1,2
1
1
(1
)
3 2
2
2
a
a a i
λ =
− ± ⋅
+
−
⋅ таких,
что
1
arg ,
φ =
λ
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
.
Преобразуем решение
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
, применив метод вспомогательного угла. Получим
2
2
1
2
3
0
( 1)
sin(
)
n
n
x
C
C
C
n
=
−
+
+
⋅
φ + φ , где
2
2
2
3
0
C
C
+
≠
.
Тогда
(
)
2
2
1
0
0
2
3
( 1)
( 1)
(sin(
(
) ) sin(
))
.
n k
n
n k
n k
n
x
x
x
C
n k
n
C
C
+
+
+
∆
=
−
=
−
− −
+
φ + + φ −
φ + φ
+
Равенство
0
n k
x
+
∆
=
возможно
только при четном k и
,
2
k
m m Z
φ
= π
∈ . Получаем следующее
Утверждение 2. Если коэффициенты
, ,
a b c
уравнения (1) удовлетворяют системе
,
1
3,
1
a b
b
c
=
− < <
=
то все решения
уравнения (1) являются периодическими с четным периодом тогда и только тогда, когда
2
Q
φ
∈
π
, где
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− +
+
−
⋅
φ =
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
.
Замечание. Если
2
2
2
3
0
C
C
+
=
, т. е. начальные условия удовлетворяют равенству
0
1
2
x
x
x
= − =
, то решение имеет вид
1
( 1)
n
n
x
С
=
−
и является периодическим, с периодом 2.
Утверждение 1. Если коэффициенты
, ,
a b c
уравнения (1) удовлетворяют системе
,
1
3,
1
a
b
b
c
= −
− < <
= −
то все решения
уравнения (1) являются периодическими тогда и только тогда, когда
2
Q
φ
∈
π
, где
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− − +
−
−
⋅
φ =
2
3 2
tg
1
a a
a
−
−
φ = −
+
.
Замечание. Если
2
2
2
3
0
C
C
+
=
, т. е. начальные условия удовлетворяют равенствам
1
2
0
2
cos
1 2cos
1
x
x
x
− =
=
φ −
φ −
, то
решение имеет вид
1
n
x
С
=
.
Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе
,
1
3
1
a b
b
c
=
− < <
=
.
Общее решение уравнения (1) имеет вид
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
.
Зададим начальные условия
0
1
2
, ,
x x x
. Тогда, решая систему
0
1
2
1
1
2
3
2
1
2
3
,
cos
sin ,
cos2
sin2
x
C
C
x
C
C
C
x
C
C
C
= +
= − +
φ +
φ
= +
φ +
φ
относительно
1
2
3
, ,
C C C
, получаем:
0
1
2
1
2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
−
φ +
=
+
φ
0
1
2
2
(1 2cos ) 2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
+
φ +
φ −
=
+
φ
0
1
2
3
(1 2cos ) 2 (1 cos )
.
2sin
x
x
x
C
−
φ +
−
φ +
=
φ
В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде
3
2
2
( )
1 (
1)(
(
1)
1) (
1) ( )
P
a
a
a
Q
λ = λ + λ + λ + = λ + λ + − λ + = λ +
λ
.
При
1
3
a
− < <
многочлен
( )
Q
λ
имеет два комплексно сопряженных корня:
2
1,2
1
1
(1
)
3 2
2
2
a
a a i
λ =
− ± ⋅
+
−
⋅ таких,
что
1
arg ,
φ =
λ
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
.
Преобразуем решение
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
, применив метод вспомогательного угла. Получим
2
2
1
2
3
0
( 1)
sin(
)
n
n
x
C
C
C
n
=
−
+
+
⋅
φ + φ , где
2
2
2
3
0
C
C
+
≠
.
Тогда
(
)
2
2
1
0
0
2
3
( 1)
( 1)
(sin(
(
) ) sin(
))
.
n k
n
n k
n k
n
x
x
x
C
n k
n
C
C
+
+
+
∆
=
−
=
−
− −
+
φ + + φ −
φ + φ
+
Равенство
0
n k
x
+
∆
=
возможно
только при четном k и
,
2
k
m m Z
φ
= π
∈ . Получаем следующее
Утверждение 2. Если коэффициенты
, ,
a b c
уравнения (1) удовлетворяют системе
,
1
3,
1
a b
b
c
=
− < <
=
то все решения
уравнения (1) являются периодическими с четным периодом тогда и только тогда, когда
2
Q
φ
∈
π
, где
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− +
+
−
⋅
φ =
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
.
Замечание. Если
2
2
2
3
0
C
C
+
=
, т. е. начальные условия удовлетворяют равенству
0
1
2
x
x
x
= − =
, то решение имеет вид
1
( 1)
n
n
x
С
=
−
и является периодическим, с периодом 2.
Dostları ilə paylaş: |