Issn 2072-0297 Молодой учёный Международный научный журнал Выходит еженедельно №28 (132) / 2016 р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я : Главный редактор

2
Математика
3
2
1
0
n
n
n
n
x
ax
bx
cx
+
+
+
+
+
+
=
, 
(1) 
где 
, ,
a b c
∈R
 детально проводилось в [1, 3, 5]. В работе [1] получены условия осциллируемости (колебательности) 
решений уравнения (1) в виде неравенств — ограничений на коэффициенты уравнения. В работе [5] полностью описана 
область асимптотической устойчивости уравнения (1) и поведение решений этого уравнения на границе области. 
Сформулируем необходимые определения. 
Определение 1. Решение 
( )
n
x
  уравнения  (1)  называется  периодическим  с  периодом 
k N
∈
  (k-циклом  или  k-
периодическим), если для всех 
n N
∈
 
.
n k
n
x
x
+
=
 
Определение 2.  Решение 
( )
n
x
  уравнения  (1)  называется  предельным  k-циклом,  если  существуют 
последовательности 
( )
n
u
 и 
( )
n
v
 такие, что 
( )
n
u
 — k-периодическая, 
lim
0,
n
n
v
→∞
=
 и для всех 
n N
∈
 
.
n
n
n
x
u
v
= +
 
Известно  [4],  что  периодические  решения  возникают  на  границе  области  асимптотической  устойчивости.  Для 
периодичности всех решений уравнения (1) необходимо, чтобы характеристический многочлен уравнения (1) 
3
2
( )
P
a
b
c
λ = λ + λ + λ +
 
имел простые комплексно сопряженные корни, по модулю равные 1 или простой действительный корень 
1
−
. 
Используя результаты работы [5], в этой статье мы описываем все возможные значения коэффициентов уравнения 
(1), при которых каждое решение является либо чисто периодическим, либо предельным циклом. 
 
Основные результаты 
 
Случай 1. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе 
,
1
3
1
a
b
b
c
= −

− < <


= −

. 
Общее решение уравнения (1) имеет вид 
1
2
3
cos( )
sin( )
n
x
С
С
n
С
n
= +
φ +
φ
. 
Зададим начальные условия 
0
1
2
, ,
x x x
. Тогда, решая систему 
0
1
2
1
1
2
3
2
1
2
3
,
cos
sin ,
cos2
sin2
x
C
C
x
C
C
C
x
C
C
C
= +

 = +
φ +
φ

 = +
φ +
φ

 
относительно 
1
2
3
, ,
C C C
, получаем: 
0
1
2
1
2 cos
,
2cos
2
x
x
x
C
− +
φ −
=
φ −
 
0
1
2
2
(2cos
1) 2 cos
,
2cos
2
x
x
x
C
φ − −
φ +
=
φ −
 
0
1
2
3
2 (1 cos )
.
2sin
x
x
x
C
− +
+
φ −
=
φ
 
В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде 
3
2
2
( )
1 (
1)(
(
1)
1) (
1) ( )
P
a
a
a
Q
λ = λ + λ − λ − = λ − λ + + λ + = λ −
λ
. 
При 
3
1
a
− < <
 многочлен 
( )
Q
λ
 имеет два комплексно сопряженных корня: 
2
1,2
1
1
(
1)
3 2
2
2
a
a a i
λ = −
+ ± ⋅
−
−
⋅  таких, 
что 
1
arg ,
φ =
λ
 
2
3 2
tg
1
a a
a
−
−
φ = −
+
. 
Преобразуем решение 
1
2
3
cos( )
sin( )
n
x
С
С
n
С
n
= +
φ +
φ
, применив метод введения вспомогательного угла. Получим 
2
2
1
2
3
0
sin(
)
n
x
C
C
C
n
= +
+
⋅
φ + φ , где 
2
2
2
3
0
C
C
+
≠
. 
Введем  величину 
2
2
0
0
2
3
(sin(
(
) ) sin(
))
.
n k
n k
n
x
x
x
n k
n
C
C
+
+
∆
=
−
=
φ + + φ −
φ + φ
+
  Решение  уравнения  (1)  является  k-
периодическим  тогда  и  только  тогда,  когда 
0
n k
x
+
∆
=
.  Получаем,  что 
0
2 cos(
) sin
0.
2
2
k
k
n
φ
φ
⋅
φ + φ +
⋅
= Это  равенство 
выполняется для всеx 
n
 тогда и только тогда, когда 
,
,
,
2
2
k
m
m
m Z k N
k
φ
φ
= π ⇒
=
∈
∈
π
. Получаем следующее 
Утверждение 1.  Если  коэффициенты 
, ,
a b c
  уравнения  (1)  удовлетворяют  системе 
,
1
3,
1
a
b
b
c
= −

− < <


= −

  то  все  решения 
уравнения  (1)  являются  периодическими  тогда  и  только  тогда,  когда 
2
Q
φ
∈
π
,  где 
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− − +
−
−
⋅
φ =
2
3 2
tg
1
a a
a
−
−
φ = −
+
. 
Замечание. Если 
2
2
2
3
0
C
C
+
=
,  т.  е.  начальные  условия  удовлетворяют  равенствам 
1
2
0
2
cos
1 2cos
1
x
x
x
− =
=
φ −
φ −
,  то 
решение имеет вид 
1
n
x
С
=
. 
Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе 
,
1
3
1
a b
b
c
=

− < <


=

. 
Общее решение уравнения (1) имеет вид 
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
. 
Зададим начальные условия 
0
1
2
, ,
x x x
. Тогда, решая систему 
0
1
2
1
1
2
3
2
1
2
3
,
cos
sin ,
cos2
sin2
x
C
C
x
C
C
C
x
C
C
C
= +

 = − +
φ +
φ

 = +
φ +
φ

 
относительно 
1
2
3
, ,
C C C
, получаем: 
0
1
2
1
2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
−
φ +
=
+
φ
 
0
1
2
2
(1 2cos ) 2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
+
φ +
φ −
=
+
φ
 
0
1
2
3
(1 2cos ) 2 (1 cos )
.
2sin
x
x
x
C
−
φ +
−
φ +
=
φ
 
В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде 
3
2
2
( )
1 (
1)(
(
1)
1) (
1) ( )
P
a
a
a
Q
λ = λ + λ + λ + = λ + λ + − λ + = λ +
λ
. 
При 
1
3
a
− < <
 многочлен 
( )
Q
λ
 имеет два комплексно сопряженных корня: 
2
1,2
1
1
(1
)
3 2
2
2
a
a a i
λ =
− ± ⋅
+
−
⋅  таких, 
что 
1
arg ,
φ =
λ
 
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
. 
Преобразуем  решение
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
,  применив  метод  вспомогательного  угла.  Получим 
2
2
1
2
3
0
( 1)
sin(
)
n
n
x
C
C
C
n
=
−
+
+
⋅
φ + φ , где 
2
2
2
3
0
C
C
+
≠
.  
Тогда 
(
)
2
2
1
0
0
2
3
( 1)
( 1)
(sin(
(
) ) sin(
))
.
n k
n
n k
n k
n
x
x
x
C
n k
n
C
C
+
+
+
∆
=
−
=
−
− −
+
φ + + φ −
φ + φ
+
 Равенство 
0
n k
x
+
∆
=
 возможно 
только при четном k и 
,
2
k
m m Z
φ
= π
∈ . Получаем следующее 
Утверждение 2.  Если  коэффициенты 
, ,
a b c
  уравнения  (1)  удовлетворяют  системе 
,
1
3,
1
a b
b
c
=

− < <


=

  то  все  решения 
уравнения  (1)  являются  периодическими  с  четным  периодом  тогда  и  только  тогда,  когда 
2
Q
φ
∈
π
,  где 
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− +
+
−
⋅
φ =
 
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
. 
Замечание. Если 
2
2
2
3
0
C
C
+
=
, т. е. начальные условия удовлетворяют равенству 
0
1
2
x
x
x
= − =
, то решение имеет вид 
1
( 1)
n
n
x
С
=
−
 и является периодическим, с периодом 2. 
Утверждение 1.  Если  коэффициенты 
, ,
a b c
  уравнения  (1)  удовлетворяют  системе 
,
1
3,
1
a
b
b
c
= −

− < <


= −

  то  все  решения 
уравнения  (1)  являются  периодическими  тогда  и  только  тогда,  когда 
2
Q
φ
∈
π
,  где 
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− − +
−
−
⋅
φ =
2
3 2
tg
1
a a
a
−
−
φ = −
+
. 
Замечание. Если 
2
2
2
3
0
C
C
+
=
,  т.  е.  начальные  условия  удовлетворяют  равенствам 
1
2
0
2
cos
1 2cos
1
x
x
x
− =
=
φ −
φ −
,  то 
решение имеет вид 
1
n
x
С
=
. 
Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе 
,
1
3
1
a b
b
c
=

− < <


=

. 
Общее решение уравнения (1) имеет вид 
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
. 
Зададим начальные условия 
0
1
2
, ,
x x x
. Тогда, решая систему 
0
1
2
1
1
2
3
2
1
2
3
,
cos
sin ,
cos2
sin2
x
C
C
x
C
C
C
x
C
C
C
= +

 = − +
φ +
φ

 = +
φ +
φ

 
относительно 
1
2
3
, ,
C C C
, получаем: 
0
1
2
1
2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
−
φ +
=
+
φ
 
0
1
2
2
(1 2cos ) 2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
+
φ +
φ −
=
+
φ
 
0
1
2
3
(1 2cos ) 2 (1 cos )
.
2sin
x
x
x
C
−
φ +
−
φ +
=
φ
 
В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде 
3
2
2
( )
1 (
1)(
(
1)
1) (
1) ( )
P
a
a
a
Q
λ = λ + λ + λ + = λ + λ + − λ + = λ +
λ
. 
При 
1
3
a
− < <
 многочлен 
( )
Q
λ
 имеет два комплексно сопряженных корня: 
2
1,2
1
1
(1
)
3 2
2
2
a
a a i
λ =
− ± ⋅
+
−
⋅  таких, 
что 
1
arg ,
φ =
λ
 
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
. 
Преобразуем  решение
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
,  применив  метод  вспомогательного  угла.  Получим 
2
2
1
2
3
0
( 1)
sin(
)
n
n
x
C
C
C
n
=
−
+
+
⋅
φ + φ , где 
2
2
2
3
0
C
C
+
≠
.  
Тогда 
(
)
2
2
1
0
0
2
3
( 1)
( 1)
(sin(
(
) ) sin(
))
.
n k
n
n k
n k
n
x
x
x
C
n k
n
C
C
+
+
+
∆
=
−
=
−
− −
+
φ + + φ −
φ + φ
+
 Равенство 
0
n k
x
+
∆
=
 возможно 
только при четном k и 
,
2
k
m m Z
φ
= π
∈ . Получаем следующее 
Утверждение 2.  Если  коэффициенты 
, ,
a b c
  уравнения  (1)  удовлетворяют  системе 
,
1
3,
1
a b
b
c
=

− < <


=

  то  все  решения 
уравнения  (1)  являются  периодическими  с  четным  периодом  тогда  и  только  тогда,  когда 
2
Q
φ
∈
π
,  где 
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− +
+
−
⋅
φ =
 
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
. 
Замечание. Если 
2
2
2
3
0
C
C
+
=
, т. е. начальные условия удовлетворяют равенству 
0
1
2
x
x
x
= − =
, то решение имеет вид 
1
( 1)
n
n
x
С
=
−
 и является периодическим, с периодом 2. 
Утверждение 1.  Если  коэффициенты 
, ,
a b c
  уравнения  (1)  удовлетворяют  системе 
,
1
3,
1
a
b
b
c
= −

− < <


= −

  то  все  решения 
уравнения  (1)  являются  периодическими  тогда  и  только  тогда,  когда 
2
Q
φ
∈
π
,  где 
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− − +
−
−
⋅
φ =
2
3 2
tg
1
a a
a
−
−
φ = −
+
. 
Замечание. Если 
2
2
2
3
0
C
C
+
=
,  т.  е.  начальные  условия  удовлетворяют  равенствам 
1
2
0
2
cos
1 2cos
1
x
x
x
− =
=
φ −
φ −
,  то 
решение имеет вид 
1
n
x
С
=
. 
Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе 
,
1
3
1
a b
b
c
=

− < <


=

. 
Общее решение уравнения (1) имеет вид 
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
. 
Зададим начальные условия 
0
1
2
, ,
x x x
. Тогда, решая систему 
0
1
2
1
1
2
3
2
1
2
3
,
cos
sin ,
cos2
sin2
x
C
C
x
C
C
C
x
C
C
C
= +

 = − +
φ +
φ

 = +
φ +
φ

 
относительно 
1
2
3
, ,
C C C
, получаем: 
0
1
2
1
2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
−
φ +
=
+
φ
 
0
1
2
2
(1 2cos ) 2 cos
,
2 2cos
x
x
x
C
+
φ +
φ −
=
+
φ
 
0
1
2
3
(1 2cos ) 2 (1 cos )
.
2sin
x
x
x
C
−
φ +
−
φ +
=
φ
 
В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде 
3
2
2
( )
1 (
1)(
(
1)
1) (
1) ( )
P
a
a
a
Q
λ = λ + λ + λ + = λ + λ + − λ + = λ +
λ
. 
При 
1
3
a
− < <
 многочлен 
( )
Q
λ
 имеет два комплексно сопряженных корня: 
2
1,2
1
1
(1
)
3 2
2
2
a
a a i
λ =
− ± ⋅
+
−
⋅  таких, 
что 
1
arg ,
φ =
λ
 
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
. 
Преобразуем  решение
1
2
3
( 1)
cos( )
sin( )
n
n
x
С
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
,  применив  метод  вспомогательного  угла.  Получим 
2
2
1
2
3
0
( 1)
sin(
)
n
n
x
C
C
C
n
=
−
+
+
⋅
φ + φ , где 
2
2
2
3
0
C
C
+
≠
.  
Тогда 
(
)
2
2
1
0
0
2
3
( 1)
( 1)
(sin(
(
) ) sin(
))
.
n k
n
n k
n k
n
x
x
x
C
n k
n
C
C
+
+
+
∆
=
−
=
−
− −
+
φ + + φ −
φ + φ
+
 Равенство 
0
n k
x
+
∆
=
 возможно 
только при четном k и 
,
2
k
m m Z
φ
= π
∈ . Получаем следующее 
Утверждение 2.  Если  коэффициенты 
, ,
a b c
  уравнения  (1)  удовлетворяют  системе 
,
1
3,
1
a b
b
c
=

− < <


=

  то  все  решения 
уравнения  (1)  являются  периодическими  с  четным  периодом  тогда  и  только  тогда,  когда 
2
Q
φ
∈
π
,  где 
2
1
3 2
arg
,
2
a
a a i
− +
+
−
⋅
φ =
 
2
3 2
tg
1
a a
a
+
−
φ =
−
. 
Замечание. Если 
2
2
2
3
0
C
C
+
=
, т. е. начальные условия удовлетворяют равенству 
0
1
2
x
x
x
= − =
, то решение имеет вид 
1
( 1)
n
n
x
С
=
−
 и является периодическим, с периодом 2.