Issn 2072-0297 Молодой учёный Международный научный журнал Выходит еженедельно №28 (132) / 2016 р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я : Главный редактор

 Формулы для многочлена H
m
(
ξ) 
 
 
В качестве примера на рис. 1 представлены графики модуля функций 
( )
j
m
ψ ξ
. 
 
 
Рис. 1 Зависимость 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
 при j=1,2,3,4 и для m=4 
 
 
Из  графиков  видно,  что  функции 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
  обращаются  в  ноль  в  крайних  точках  отрезка  [0,1]  и  быстро  убывают 
с увеличением j. 
Полученные результаты можно представить в виде следующей теоремы. 
Теорема. Пусть периодическая функция f(x) с периодом T определена на интервале (-∞<x<∞), имеет производные 
до  m-го  порядка  включительно  на  этом  интервале  и  заданы  условия  (1.2)  в  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞).  Тогда  существует 
составной  многочлен  H
m
,  удовлетворяющий  условиям  (1.2),  который  является  суперпозицией  двухточечного 
интерполяционного многочлена Эрмита и функции {z}, и который может быть представлен в виде 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, 
где переменная 
ξ и функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулами (1.3) и (1.7), соответственно. 
2. Численный пример построения приближающего многочлена 
Пусть периодическая функция f(x) с периодом T: 
f(x) = f(x+T), (1.1) 
определена на интервале (-∞<x<∞) и имеет достаточный набор производных на интервале. 
Пусть  также  в  некоторой  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞)  заданы  значения  функции  f(x)  и  ее  производных  до  порядка 
m включительно: 
( )
( )
0
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
. (1.2) 
Необходимо построить составной многочлен H(x), который определен на том же интервале (-∞<x<∞) и который 
удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2). 
Введем новую переменную 
ξ, связанную с исходной переменной x соотношением: 
0
x x
T
−


ξ = 



, (1.3) 
где функция 
{ }
z
 обозначает дробную часть своего аргумента, т. е. 
{ }
0
1
z
≤
<
. 
Преобразование,  выраженное  формулой  (1.3),  сводит  неограниченный  промежуток  изменения  периодической 
функции к промежутку [0,1). 
Вследствие  того,  что  производные  f(x)  также  являются  периодическими  функциями,  можно  записать,  что 
выполняются условия на правом конце отрезка: 
( )
( )
1
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
, (1.4) 
Задача  аппроксимации  периодической  функции  на  неограниченном  промежутке  сводится  к  задаче  приближения 
функции на отрезке с заданными условиями (1.2) и (1.4) на его концах. 
Согласно  [5,  С.  1097]  приближающий  многочлен  H
m
(x),  удовлетворяющий  условиям  (1.2)  и  (1.4),  можно 
представить в виде: 
( )
( )
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
( ) (1
)
(
)
(
)
(1
)
!
!
j
j
m j
m j
m
m
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m k
m k
j
k
j
k
f
f
H x
x x
c
x x
c
j
j
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
= − ξ
−
ξ + ξ
−
− ξ
∑
∑
∑
∑
. (1.5) 
Переходя только к относительной переменной 
ξ согласно (1.3), учитывая условия выраженные (1.4) и группируя, 
получим следующее представление для H
m
(
ξ): 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, (1.6) 
где функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулой: 
1
1
0
0
( ) (1
)
(
1)
(1
)
m j
m j
j
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m
m
k
k
a
a
−
−
+
+
=
=
ψ ξ = − ξ
ξ
ξ + ξ
ξ −
− ξ
∑
∑
, (1.7) 
В  таблице  1  приведены  формулы  двухточечного  многочлена  H
m
(
ξ),  полученные  из  соотношения  (1.6),  в  которой 
функции 
( )
j
m
ψ ξ
 представлены в виде степеней переменной 
ξ и s — степень многочлена. 
 
 
Таблица 1.
 Формулы для многочлена H
m
(
ξ) 
 
 
В качестве примера на рис. 1 представлены графики модуля функций 
( )
j
m
ψ ξ
. 
 
 
Рис. 1 Зависимость 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
 при j=1,2,3,4 и для m=4 
 
 
Из  графиков  видно,  что  функции 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
  обращаются  в  ноль  в  крайних  точках  отрезка  [0,1]  и  быстро  убывают 
с увеличением j. 
Полученные результаты можно представить в виде следующей теоремы. 
Теорема. Пусть периодическая функция f(x) с периодом T определена на интервале (-∞<x<∞), имеет производные 
до  m-го  порядка  включительно  на  этом  интервале  и  заданы  условия  (1.2)  в  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞).  Тогда  существует 
составной  многочлен  H
m
,  удовлетворяющий  условиям  (1.2),  который  является  суперпозицией  двухточечного 
интерполяционного многочлена Эрмита и функции {z}, и который может быть представлен в виде 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, 
где переменная 
ξ и функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулами (1.3) и (1.7), соответственно. 
2. Численный пример построения приближающего многочлена 
 
Рис.
 1. Зависимость 
 
 
 при j=1,2,3,4 и для m=4

«Молодой учёный»  .  № 28 (132)   .  Декабрь 2016  г.
6
Математика
Таблица
 2. Формулы приближающего многочлена для функции y = sin x
s m
Формулы для многочлена H
m
(
ξ)
1 0

 
3 1
      
 
5 2
        
 
7 3

          

  
  
 
9 4

  
 

 

 

  
  

 
Пусть периодическая функция f(x) с периодом T: 
f(x) = f(x+T), (1.1) 
определена на интервале (-∞<x<∞) и имеет достаточный набор производных на интервале. 
Пусть  также  в  некоторой  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞)  заданы  значения  функции  f(x)  и  ее  производных  до  порядка 
m включительно: 
( )
( )
0
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
. (1.2) 
Необходимо построить составной многочлен H(x), который определен на том же интервале (-∞<x<∞) и который 
удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2). 
Введем новую переменную 
ξ, связанную с исходной переменной x соотношением: 
0
x x
T
−


ξ = 



, (1.3) 
где функция 
{ }
z
 обозначает дробную часть своего аргумента, т. е. 
{ }
0
1
z
≤
<
. 
Преобразование,  выраженное  формулой  (1.3),  сводит  неограниченный  промежуток  изменения  периодической 
функции к промежутку [0,1). 
Вследствие  того,  что  производные  f(x)  также  являются  периодическими  функциями,  можно  записать,  что 
выполняются условия на правом конце отрезка: 
( )
( )
1
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
, (1.4) 
Задача  аппроксимации  периодической  функции  на  неограниченном  промежутке  сводится  к  задаче  приближения 
функции на отрезке с заданными условиями (1.2) и (1.4) на его концах. 
Согласно  [5,  С.  1097]  приближающий  многочлен  H
m
(x),  удовлетворяющий  условиям  (1.2)  и  (1.4),  можно 
представить в виде: 
( )
( )
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
( ) (1
)
(
)
(
)
(1
)
!
!
j
j
m j
m j
m
m
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m k
m k
j
k
j
k
f
f
H x
x x
c
x x
c
j
j
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
= − ξ
−
ξ + ξ
−
− ξ
∑
∑
∑
∑
. (1.5) 
Переходя только к относительной переменной 
ξ согласно (1.3), учитывая условия выраженные (1.4) и группируя, 
получим следующее представление для H
m
(
ξ): 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, (1.6) 
где функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулой: 
1
1
0
0
( ) (1
)
(
1)
(1
)
m j
m j
j
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m
m
k
k
a
a
−
−
+
+
=
=
ψ ξ = − ξ
ξ
ξ + ξ
ξ −
− ξ
∑
∑
, (1.7) 
В  таблице  1  приведены  формулы  двухточечного  многочлена  H
m
(
ξ),  полученные  из  соотношения  (1.6),  в  которой 
функции 
( )
j
m
ψ ξ
 представлены в виде степеней переменной 
ξ и s — степень многочлена. 
 
 
Таблица 1.
 Формулы для многочлена H
m
(
ξ) 
 
 
В качестве примера на рис. 1 представлены графики модуля функций 
( )
j
m
ψ ξ
. 
 
 
Рис. 1 Зависимость 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
 при j=1,2,3,4 и для m=4 
 
 
Из  графиков  видно,  что  функции 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
  обращаются  в  ноль  в  крайних  точках  отрезка  [0,1]  и  быстро  убывают 
с увеличением j. 
Полученные результаты можно представить в виде следующей теоремы. 
Теорема. Пусть периодическая функция f(x) с периодом T определена на интервале (-∞<x<∞), имеет производные 
до  m-го  порядка  включительно  на  этом  интервале  и  заданы  условия  (1.2)  в  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞).  Тогда  существует 
составной  многочлен  H
m
,  удовлетворяющий  условиям  (1.2),  который  является  суперпозицией  двухточечного 
интерполяционного многочлена Эрмита и функции {z}, и который может быть представлен в виде 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, 
где переменная 
ξ и функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулами (1.3) и (1.7), соответственно. 
2. Численный пример построения приближающего многочлена 
Пусть периодическая функция f(x) с периодом T: 
f(x) = f(x+T), (1.1) 
определена на интервале (-∞<x<∞) и имеет достаточный набор производных на интервале. 
Пусть  также  в  некоторой  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞)  заданы  значения  функции  f(x)  и  ее  производных  до  порядка 
m включительно: 
( )
( )
0
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
. (1.2) 
Необходимо построить составной многочлен H(x), который определен на том же интервале (-∞<x<∞) и который 
удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2). 
Введем новую переменную 
ξ, связанную с исходной переменной x соотношением: 
0
x x
T
−


ξ = 



, (1.3) 
где функция 
{ }
z
 обозначает дробную часть своего аргумента, т. е. 
{ }
0
1
z
≤
<
. 
Преобразование,  выраженное  формулой  (1.3),  сводит  неограниченный  промежуток  изменения  периодической 
функции к промежутку [0,1). 
Вследствие  того,  что  производные  f(x)  также  являются  периодическими  функциями,  можно  записать,  что 
выполняются условия на правом конце отрезка: 
( )
( )
1
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
, (1.4) 
Задача  аппроксимации  периодической  функции  на  неограниченном  промежутке  сводится  к  задаче  приближения 
функции на отрезке с заданными условиями (1.2) и (1.4) на его концах. 
Согласно  [5,  С.  1097]  приближающий  многочлен  H
m
(x),  удовлетворяющий  условиям  (1.2)  и  (1.4),  можно 
представить в виде: 
( )
( )
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
( ) (1
)
(
)
(
)
(1
)
!
!
j
j
m j
m j
m
m
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m k
m k
j
k
j
k
f
f
H x
x x
c
x x
c
j
j
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
= − ξ
−
ξ + ξ
−
− ξ
∑
∑
∑
∑
. (1.5) 
Переходя только к относительной переменной 
ξ согласно (1.3), учитывая условия выраженные (1.4) и группируя, 
получим следующее представление для H
m
(
ξ): 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, (1.6) 
где функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулой: 
1
1
0
0
( ) (1
)
(
1)
(1
)
m j
m j
j
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m
m
k
k
a
a
−
−
+
+
=
=
ψ ξ = − ξ
ξ
ξ + ξ
ξ −
− ξ
∑
∑
, (1.7) 
В  таблице  1  приведены  формулы  двухточечного  многочлена  H
m
(
ξ),  полученные  из  соотношения  (1.6),  в  которой 
функции 
( )
j
m
ψ ξ
 представлены в виде степеней переменной 
ξ и s — степень многочлена. 
 
 
Таблица 1.
 Формулы для многочлена H
m
(
ξ) 
 
 
В качестве примера на рис. 1 представлены графики модуля функций 
( )
j
m
ψ ξ
. 
 
 
Рис. 1 Зависимость 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
 при j=1,2,3,4 и для m=4 
 
 
Из  графиков  видно,  что  функции 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
  обращаются  в  ноль  в  крайних  точках  отрезка  [0,1]  и  быстро  убывают 
с увеличением j. 
Полученные результаты можно представить в виде следующей теоремы. 
Теорема. Пусть периодическая функция f(x) с периодом T определена на интервале (-∞<x<∞), имеет производные 
до  m-го  порядка  включительно  на  этом  интервале  и  заданы  условия  (1.2)  в  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞).  Тогда  существует 
составной  многочлен  H
m
,  удовлетворяющий  условиям  (1.2),  который  является  суперпозицией  двухточечного 
интерполяционного многочлена Эрмита и функции {z}, и который может быть представлен в виде 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, 
где переменная 
ξ и функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулами (1.3) и (1.7), соответственно. 
2. Численный пример построения приближающего многочлена 
 
Для периодической функции y = sin x, которая имеет период T=2π, производные определяются соотношением: 
( )
(sin  )
sin (
),    
0,1,...
2
j
x
x
j
j
π
=
+
=
. 
Подставляя значения функции и ее производных в формулы, приведенные в таблице 1, получим соотношения для 
приближающих ее многочленов H
m
, которые представлены в таблице 2. 
 
 
Таблица 2. Формулы приближающего многочлена для функции y = sin x 
 
 
На рис. 2 приведены графики многочлена H
m
(x) с использованием исходной переменной x для значений параметра 
m=0,1,2,3,4 и график функции y = sin x. 
 
 
Рис. 2. Приближение функции y = sin x составным многочленом 
 
 
Из  рисунка  видно,  что  с  увеличением  значения  параметра  m  графики  приближающих  многочленов  монотонно 
подходят к графику этой функции. 
На  рис.  3  показаны  графики  погрешности  приближения 
δ(x),  определенной  по  формуле  δ(x)=|f(x)-H
m
(x)|,  для 
различных значений параметра m. 
 
 
Рис. 3. Погрешность приближения δ(x) для значений параметра m = 0–4 
 
 
Для периодической функции y = sin x, которая имеет период T=2π, производные определяются соотношением: 
( )
(sin  )
sin (
),    
0,1,...
2
j
x
x
j
j
π
=
+
=
. 
Подставляя значения функции и ее производных в формулы, приведенные в таблице 1, получим соотношения для 
приближающих ее многочленов H
m
, которые представлены в таблице 2. 
 
 
Таблица 2. Формулы приближающего многочлена для функции y = sin x 
 
 
На рис. 2 приведены графики многочлена H
m
(x) с использованием исходной переменной x для значений параметра 
m=0,1,2,3,4 и график функции y = sin x. 
 
 
Рис. 2. Приближение функции y = sin x составным многочленом 
 
 
Из  рисунка  видно,  что  с  увеличением  значения  параметра  m  графики  приближающих  многочленов  монотонно 
подходят к графику этой функции. 
На  рис.  3  показаны  графики  погрешности  приближения 
δ(x),  определенной  по  формуле  δ(x)=|f(x)-H
m
(x)|,  для 
различных значений параметра m. 
 
 
Рис. 3. Погрешность приближения δ(x) для значений параметра m = 0–4 
 
 
Для периодической функции y = sin x, которая имеет период T=2π, производные определяются соотношением: 
( )
(sin  )
sin (
),    
0,1,...
2
j
x
x
j
j
π
=
+
=
. 
Подставляя значения функции и ее производных в формулы, приведенные в таблице 1, получим соотношения для 
приближающих ее многочленов H
m
, которые представлены в таблице 2.