Issn 2072-0297 Молодой учёный Международный научный журнал Выходит еженедельно №28 (132) / 2016 р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я : Главный редактор

Случай 3. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе 
,
| | 1
1
a
c
c
b
= −


<

 = −

. 
Общее решение уравнения (1) имеет вид 
1
2
3
( 1)
( )
n
n
n
x
С
С
С
a
= +
−
+
−
. Очевидно, что в общем случае все решения 
уравнения  (1)  являются  предельными  2-циклами  (здесь 
,
n
n
n
x
u
v
=
+
  где 
1
2
( 1)
n
n
u
С
С
= +
−
  —  2-цикл, 
3
( )
n
n
v
С
a
=
−
, 
lim( )
0
n
n
a
→∞
−
= ). 
Случай 4. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе 
2
1
,
2
| | 1
b
c
ac
a с
c
 = − +
 − <

 <

. 
Общее решение уравнения (1) имеет вид 
1
2
3
( )
cos( )
sin( )
n
n
x
С
c
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
. Характеристический полином 
( )
P
λ
имеет  следующие  корни:  действительный  корень 
с
λ = −
, 
| | | | 1
c
λ = <
,  пару  комплексно  сопряженных  корней 
2
2,3
4 (
)
2
2
a c
a c
i
− −
−
λ =
±
, 
2
3
|
| |
| 1
λ = λ =
, 
2
4 (
)
arg
2
2
a c
a c
i


− −
−
φ =
+




, 
2
4 (
)
tg
a c
a c
− −
φ = −
−
. 
В этом случае получаем следующее 
Утверждение 3. Если коэффициенты 
, ,
a b c
 уравнения (1) удовлетворяют системе 
2
1
,
2
| | 1
b
c
ac
a с
c
 = − +
 − <

 <

, то все решения 
уравнения (1) являются предельными циклами тогда и только тогда, когда 
2
Q
φ
∈
π
, где 
2
4 (
)
arg
2
2
a c
a c
i


− −
−
φ =
+




, 
2
4 (
)
tg
a c
a c
− −
φ = −
−
. 
 
Случай 3. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе 
,
| | 1
1
a
c
c
b
= −


<

 = −

. 
Общее решение уравнения (1) имеет вид 
1
2
3
( 1)
( )
n
n
n
x
С
С
С
a
= +
−
+
−
. Очевидно, что в общем случае все решения 
уравнения  (1)  являются  предельными  2-циклами  (здесь 
,
n
n
n
x
u
v
=
+
  где 
1
2
( 1)
n
n
u
С
С
= +
−
  —  2-цикл, 
3
( )
n
n
v
С
a
=
−
, 
lim( )
0
n
n
a
→∞
−
= ). 
Случай 4. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе 
2
1
,
2
| | 1
b
c
ac
a с
c
 = − +
 − <

 <

. 
Общее решение уравнения (1) имеет вид 
1
2
3
( )
cos( )
sin( )
n
n
x
С
c
С
n
С
n
=
−
+
φ +
φ
. Характеристический полином 
( )
P
λ
имеет  следующие  корни:  действительный  корень 
с
λ = −
, 
| | | | 1
c
λ = <
,  пару  комплексно  сопряженных  корней 
2
2,3
4 (
)
2
2
a c
a c
i
− −
−
λ =
±
, 
2
3
|
| |
| 1
λ = λ =
, 
2
4 (
)
arg
2
2
a c
a c
i


− −
−
φ =
+




, 
2
4 (
)
tg
a c
a c
− −
φ = −
−
. 
В этом случае получаем следующее 
Утверждение 3. Если коэффициенты 
, ,
a b c
 уравнения (1) удовлетворяют системе 
2
1
,
2
| | 1
b
c
ac
a с
c
 = − +
 − <

 <

, то все решения 
уравнения (1) являются предельными циклами тогда и только тогда, когда 
2
Q
φ
∈
π
, где 
2
4 (
)
arg
2
2
a c
a c
i


− −
−
φ =
+




, 
2
4 (
)
tg
a c
a c
− −
φ = −
−
. 
 

«Молодой учёный»  .  № 28 (132)   .  Декабрь 2016  г.
4
Математика
2.  Schmeidel E. L., Janglajew K. R. Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations // Advances 
in Difference Equations. — 2012. — 2012:195. URL: https://advancesindifferenceequations.springeropen.com/ar-
ticles/10.1186/1687–1847–2012–195. doi:10.1186/1687–1847–2012–195. (дата обращения: 10.12.2016)
3.  Баранова А. Я., Шенмаер И. В., Нигматулин Р. М. Условная устойчивость разностного уравнения третьего по-
рядка в критических случаях // Молодой ученый. — 2016. — №  25(129). — С. 113–122.
4.  Козак А. Д., Новоселов О. Н. Асимптотическое поведение решений линейного однородного разностного урав-
нения второго порядка // Математические заметки. — 1999. — Т. 66, Вып. 2. — С. 211–215.
5.  Нигматулин Р. М., Кипнис М. М. Свойства дискретных систем третьего порядка на границе их областей устой-
чивости // Фундаментальные исследования. — 2015. — №  9–1. —  С. 39–43; URL: http://www.fundamen-
tal-research.ru/ru/article/view?id=38962 (дата обращения: 10.12.2016).
О построении формул аппроксимации периодических функций 
составными двухточечными многочленами Эрмита
Шустов Виктор Владимирович, кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник
Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем (г. Москва)
Рассмотрена задача приближения периодических функций составными двухточечными многочленами 
Эрмита. Получены конечные формулы представления этих многочленов, которые используют значения 
функции и ее производных до n-го порядка включительно в заданной точке. Приведен пример построения 
составных многочленов Эрмита для периодической функции f(x) = sin x и данные о погрешности прибли-
жения.
Ключевые слова: периодические функции, составной двухточечный многочлен Эрмита, формулы аппрок-
симации функций, погрешность приближения
Введение
Для приближения
 периодических функций часто применяются тригонометрические функции в форме рядов Фурье. 
Эти ряды широко используются для решения различных задач, и им посвящена обширная литература [1] — [4].
Особенностью приближения периодических функций рядами Фурье является то, что в них используются тригономе-
трические функции y = sin x и y = cos x, которые требуют последующего вычисления. Для вычисления этих функций 
используют разные методы, в частности, разложение их в степенные ряды по формуле Тейлора.
Идея предлагаемого подхода состоит в том, чтобы напрямую использовать многочлены определенного класса для 
представления периодических функций. В качестве таких многочленов используются двухточечные интерполяционные 
многочлены Эрмита [5].
1. Постановка и решение задачи
Пусть периодическая функция f(x) с периодом T: 
f(x) = f(x+T), (1.1) 
определена на интервале (-∞<x<∞) и имеет достаточный набор производных на интервале. 
Пусть  также  в  некоторой  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞)  заданы  значения  функции  f(x)  и  ее  производных  до  порядка 
m включительно: 
( )
( )
0
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
. (1.2) 
Необходимо построить составной многочлен H(x), который определен на том же интервале (-∞<x<∞) и который 
удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2). 
Введем новую переменную 
ξ, связанную с исходной переменной x соотношением: 
0
x x
T
−


ξ = 



, (1.3) 
где функция 
{ }
z
 обозначает дробную часть своего аргумента, т. е. 
{ }
0
1
z
≤
<
. 
Преобразование,  выраженное  формулой  (1.3),  сводит  неограниченный  промежуток  изменения  периодической 
функции к промежутку [0,1). 
Вследствие  того,  что  производные  f(x)  также  являются  периодическими  функциями,  можно  записать,  что 
выполняются условия на правом конце отрезка: 
( )
( )
1
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
, (1.4) 
Задача  аппроксимации  периодической  функции  на  неограниченном  промежутке  сводится  к  задаче  приближения 
функции на отрезке с заданными условиями (1.2) и (1.4) на его концах. 
Согласно  [5,  С.  1097]  приближающий  многочлен  H
m
(x),  удовлетворяющий  условиям  (1.2)  и  (1.4),  можно 
представить в виде: 
( )
( )
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
( ) (1
)
(
)
(
)
(1
)
!
!
j
j
m j
m j
m
m
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m k
m k
j
k
j
k
f
f
H x
x x
c
x x
c
j
j
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
= − ξ
−
ξ + ξ
−
− ξ
∑
∑
∑
∑
. (1.5) 
Переходя только к относительной переменной 
ξ согласно (1.3), учитывая условия выраженные (1.4) и группируя, 
получим следующее представление для H
m
(
ξ): 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, (1.6) 
где функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулой: 
1
1
0
0
( ) (1
)
(
1)
(1
)
m j
m j
j
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m
m
k
k
a
a
−
−
+
+
=
=
ψ ξ = − ξ
ξ
ξ + ξ
ξ −
− ξ
∑
∑
, (1.7) 
В  таблице  1  приведены  формулы  двухточечного  многочлена  H
m
(
ξ),  полученные  из  соотношения  (1.6),  в  которой 
функции 
( )
j
m
ψ ξ
 представлены в виде степеней переменной 
ξ и s — степень многочлена. 
 
 
Таблица 1.
 Формулы для многочлена H
m
(
ξ) 
 
 
В качестве примера на рис. 1 представлены графики модуля функций 
( )
j
m
ψ ξ
. 
 
 
Рис. 1 Зависимость 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
 при j=1,2,3,4 и для m=4 
 
 
Из  графиков  видно,  что  функции 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
  обращаются  в  ноль  в  крайних  точках  отрезка  [0,1]  и  быстро  убывают 
с увеличением j. 
Полученные результаты можно представить в виде следующей теоремы. 
Теорема. Пусть периодическая функция f(x) с периодом T определена на интервале (-∞<x<∞), имеет производные 
до  m-го  порядка  включительно  на  этом  интервале  и  заданы  условия  (1.2)  в  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞).  Тогда  существует 
составной  многочлен  H
m
,  удовлетворяющий  условиям  (1.2),  который  является  суперпозицией  двухточечного 
интерполяционного многочлена Эрмита и функции {z}, и который может быть представлен в виде 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, 
где переменная 
ξ и функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулами (1.3) и (1.7), соответственно. 
2. Численный пример построения приближающего многочлена 

“Young Scientist”  .  #28 (132)  .  December 2016
5
Mathematics
Таблица
 1. Формулы для многочлена H
m
(
ξ)
s m
Формулы для H
m
(
ξ)
1 0

 
3 1
 
)
2
3
-
(
3
2
0
0
1
T
f
f
H







 
5 2
2
4
3
2
0
5
4
3
0
0
2
)
2
-
( 
!
2
)
6
-
15
10
-
(
T
f
T
f
f
H














 
7 3
3
7
6
5
4
3
0
2
6
5
4
2
0
7
6
5
4
0
0
3
)
2
7
-
9
5
-
( 
!
3
)
2
-
6
5
-
( 
!
2
)
20
70
-
84
35
-
(
T
f
T
f
T
f
f
H


























 
Пусть периодическая функция f(x) с периодом T: 
f(x) = f(x+T), (1.1) 
определена на интервале (-∞<x<∞) и имеет достаточный набор производных на интервале. 
Пусть  также  в  некоторой  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞)  заданы  значения  функции  f(x)  и  ее  производных  до  порядка 
m включительно: 
( )
( )
0
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
. (1.2) 
Необходимо построить составной многочлен H(x), который определен на том же интервале (-∞<x<∞) и который 
удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2). 
Введем новую переменную 
ξ, связанную с исходной переменной x соотношением: 
0
x x
T
−


ξ = 



, (1.3) 
где функция 
{ }
z
 обозначает дробную часть своего аргумента, т. е. 
{ }
0
1
z
≤
<
. 
Преобразование,  выраженное  формулой  (1.3),  сводит  неограниченный  промежуток  изменения  периодической 
функции к промежутку [0,1). 
Вследствие  того,  что  производные  f(x)  также  являются  периодическими  функциями,  можно  записать,  что 
выполняются условия на правом конце отрезка: 
( )
( )
1
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
, (1.4) 
Задача  аппроксимации  периодической  функции  на  неограниченном  промежутке  сводится  к  задаче  приближения 
функции на отрезке с заданными условиями (1.2) и (1.4) на его концах. 
Согласно  [5,  С.  1097]  приближающий  многочлен  H
m
(x),  удовлетворяющий  условиям  (1.2)  и  (1.4),  можно 
представить в виде: 
( )
( )
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
( ) (1
)
(
)
(
)
(1
)
!
!
j
j
m j
m j
m
m
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m k
m k
j
k
j
k
f
f
H x
x x
c
x x
c
j
j
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
= − ξ
−
ξ + ξ
−
− ξ
∑
∑
∑
∑
. (1.5) 
Переходя только к относительной переменной 
ξ согласно (1.3), учитывая условия выраженные (1.4) и группируя, 
получим следующее представление для H
m
(
ξ): 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, (1.6) 
где функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулой: 
1
1
0
0
( ) (1
)
(
1)
(1
)
m j
m j
j
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m
m
k
k
a
a
−
−
+
+
=
=
ψ ξ = − ξ
ξ
ξ + ξ
ξ −
− ξ
∑
∑
, (1.7) 
В  таблице  1  приведены  формулы  двухточечного  многочлена  H
m
(
ξ),  полученные  из  соотношения  (1.6),  в  которой 
функции 
( )
j
m
ψ ξ
 представлены в виде степеней переменной 
ξ и s — степень многочлена. 
 
 
Таблица 1.
 Формулы для многочлена H
m
(
ξ) 
 
 
В качестве примера на рис. 1 представлены графики модуля функций 
( )
j
m
ψ ξ
. 
 
 
Рис. 1 Зависимость 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
 при j=1,2,3,4 и для m=4 
 
 
Из  графиков  видно,  что  функции 
|
( ) |
j
m
ψ ξ
  обращаются  в  ноль  в  крайних  точках  отрезка  [0,1]  и  быстро  убывают 
с увеличением j. 
Полученные результаты можно представить в виде следующей теоремы. 
Теорема. Пусть периодическая функция f(x) с периодом T определена на интервале (-∞<x<∞), имеет производные 
до  m-го  порядка  включительно  на  этом  интервале  и  заданы  условия  (1.2)  в  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞).  Тогда  существует 
составной  многочлен  H
m
,  удовлетворяющий  условиям  (1.2),  который  является  суперпозицией  двухточечного 
интерполяционного многочлена Эрмита и функции {z}, и который может быть представлен в виде 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, 
где переменная 
ξ и функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулами (1.3) и (1.7), соответственно. 
2. Численный пример построения приближающего многочлена 
Пусть периодическая функция f(x) с периодом T: 
f(x) = f(x+T), (1.1) 
определена на интервале (-∞<x<∞) и имеет достаточный набор производных на интервале. 
Пусть  также  в  некоторой  точке  x
0
 
ϵ  (-∞,∞)  заданы  значения  функции  f(x)  и  ее  производных  до  порядка 
m включительно: 
( )
( )
0
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
. (1.2) 
Необходимо построить составной многочлен H(x), который определен на том же интервале (-∞<x<∞) и который 
удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2). 
Введем новую переменную 
ξ, связанную с исходной переменной x соотношением: 
0
x x
T
−


ξ = 



, (1.3) 
где функция 
{ }
z
 обозначает дробную часть своего аргумента, т. е. 
{ }
0
1
z
≤
<
. 
Преобразование,  выраженное  формулой  (1.3),  сводит  неограниченный  промежуток  изменения  периодической 
функции к промежутку [0,1). 
Вследствие  того,  что  производные  f(x)  также  являются  периодическими  функциями,  можно  записать,  что 
выполняются условия на правом конце отрезка: 
( )
( )
1
0
( )
,    
0,1,...,
j
j
f
x
f
j
m
=
=
, (1.4) 
Задача  аппроксимации  периодической  функции  на  неограниченном  промежутке  сводится  к  задаче  приближения 
функции на отрезке с заданными условиями (1.2) и (1.4) на его концах. 
Согласно  [5,  С.  1097]  приближающий  многочлен  H
m
(x),  удовлетворяющий  условиям  (1.2)  и  (1.4),  можно 
представить в виде: 
( )
( )
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
( ) (1
)
(
)
(
)
(1
)
!
!
j
j
m j
m j
m
m
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m k
m k
j
k
j
k
f
f
H x
x x
c
x x
c
j
j
−
−
+
+
+
+
=
=
=
=
= − ξ
−
ξ + ξ
−
− ξ
∑
∑
∑
∑
. (1.5) 
Переходя только к относительной переменной 
ξ согласно (1.3), учитывая условия выраженные (1.4) и группируя, 
получим следующее представление для H
m
(
ξ): 
( )
0
0
( )
( )
!
j
j
m
j
m
m
j
f T
H
j
=
ξ =
ψ ξ
∑
, (1.6) 
где функции 
( )
j
m
ψ ξ
 определены формулой: 
1
1
0
0
( ) (1
)
(
1)
(1
)
m j
m j
j
m
j
k
k
m
j
k
k
m
m
m
k
k
a
a
−
−
+
+
=
=
ψ ξ = − ξ
ξ
ξ + ξ
ξ −
− ξ
∑
∑
, (1.7) 
В  таблице  1  приведены  формулы  двухточечного  многочлена  H
m
(
ξ),  полученные  из  соотношения  (1.6),  в  которой 
функции 
( )
j
m
ψ ξ
 представлены в виде степеней переменной 
ξ и s — степень многочлена. 
 
 
Таблица 1.