Jinsli bo‘lmagan tenglamalar

10-Ma’ruza: O‘ZGARMAS KOEFFITSIENTLI ChIZIQLI BIR

JINSLI BO‘LMAGAN TENGLAMALAR.

Reja:

1. 
   Bir jinsli bo‘lmagan tenglama.
   
2. 
   Lagranj usuli.
   
3. 
   Tenglamaning o‘ng tomoni maxsus ko‘rinishga ega bo‘lgan hollar.
   

Tayanch iboralar:
Lagranj usuli, umumiy yechim strukturasi, noma’lum koeffitsientlar usuli.
Ushbu
(1)
tenglamani yechish masalasi bilan tanishamiz.
Umuman (1) tenglamani umumiy yechimini q(x) funksiyaning ko‘rinishiga bog‘liq bo‘lmagan holda o‘zgarmasni variatsiyalash usulida (Lagranj usulida) yechish mumkin.
Buning uchun (1) ga mos bir jinsli tenglamani yechib, umumiy yechim topiladi, yaoni
(2)
bu yerda c_i=c_i(x) deb olamiz va (2)ni (1)ga quyish uchun ketma-ket hosila olamiz
(3)
(3)da =0 deb kolgan qismidan yana hosila olamiz

bunda ham c_i(x) larni hosilasi qatnashganlarini nolga tenglaymiz
=0
Shu tartibda p – marta hosila olamiz va hosilalarni (1)ga qo‘yamiz.
Unda
(4)
ko‘rinishidagi sistemaga kelamiz.
(4) sistemadan algebra kursidagi biror usul bilan c_i(x) larni topib (2)ga qo‘yamiz va (1) ning umumiy yechimini hosil qilamiz.

1. 
   tenglamani umumiy yechimi, mos bir jinsli
   

(5)
tenglamaning umumiy yechimi bilan (1) tenglamaning xusisiy yechimi yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni
y= + (6)

6. 
   - (1) ning xususiy yechimi.
   

- (5) ning umumiy yechimi.
Bundan tashqari q(x) maxsus ko‘rinishga ega bo‘lsa - xususiy yechimni noma’lum koeffitsientlar usulida topish mumkin:
a)
ko‘rinishda bo‘lsa, xususiy yechim

ko‘rinishda qidiramiz va uni (7)

(1) tenglamaga qo‘yiladi va mos koeffitsientlar tenglanadi

(8)
(8) dan B_i­ - o‘zgarmaslar topilib (7)ga qo‘yiladi . (1)ning umumiy yechimi (6) ko‘rinishda ifodalanadi.
b)
ko‘rinishda bo‘lsa, u holda
1)  - xarakteristik tenglamani ildizi bo‘lmasa xususiy yechim


ko‘rinishda,
2)  - xarakteristik tenglamani k - karrali ildizi bo‘lsa , xususiy yechim



ko‘rinishda izlanadi va a) holdagi kabi B_i - koeffitsientlar topiladi.
Agar
(9)
ko‘rinishda bo‘lsa (bunda P_m va Q_m lar x ga nisbatan m- tartibli ko‘phad bo‘lib, kamida bittasining darajasi m ga teng).
Bunda ushbu formuladan foydalanamiz:
(10)
shunga ko‘ra (9) ni quyidagicha yozamiz

q(x) funksiyani (1) ga qo‘ysak, tenglamaning o‘ng tomoni 2 ta funksiya yig‘indisidan iborat bo‘ladi.
Shu o‘rinda ushbu maolumotni keltiramiz:
Agar (1) tenglamaning o‘ng tomoni ikkita funksiya yig‘indisidan iborat bo‘lsa, q(x)=f₁(x)+f₂(x) bo‘lib, y₁ funksiya L(u)=f₁(x) tenglamaning, y₂ funksiya L(u)=f₂(x) tenglamaning yechimlari bo‘lsa, u holda u₁+u₂ funksiya
L(u)=f₁(x)+f₂(x)
tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Ushbu maolumotni eotiborga olib, quyidagi ikkita holni qaraymiz
a) soni (1) tenglamaga mos xarakteristik tenglamaning ildizi bo‘lmasa, u holda xususiy yechim
(11)
ko‘rinishda qidiriladi.
b) soni (1) tenglamaga mos xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi bo‘lsa, u holda xususiy yechim
(12)
ko‘rinishda qidiriladi.
Bunda R_m(x) va N_m(x) lar m tartibli nomaolum koeffitsientli ko‘phadlar. (11), (12) formulalarni haqiqiy yechimlarga o‘tkazsak, mos holda

va

ko‘rinishlarni oladi. R_m(x) va N_m(x) ko‘phadlarning koeffitsientlari yuqorida ko‘rsatilgan usulda topiladi.

Tekshirish uchun savollar.

1. 
   O‘zgarmas koeffitsentli n-tartibli bir jinsli bo‘lmagan tenglama umumiy ko‘rinishi.
   
2. 
   Bir jinsli tenglama yechimining strukturasi.
   
3. 
   O‘zgarmasni variatsiyalash (Lagranj) usuli.
   
4. 
   Noma’lum s_i (x) funksiyalarga nisbatan tenglamalar sistemasini ko‘rinishi.
   
5. 
   Tenglamani o‘ng tomoni maxsus ko‘rinish bo‘lganda noma’lum koeffitsientlar usuli.
   
6. 
   Tenglamani o‘ng tomoni maxsus ko‘rinishda bo‘lsa, xususiy yechim qanday ko‘rinishida qidiriladi
   
7. 
    soni xarakteristik tenglamani ildizi bo‘lsa , xususiy yechim qanday ko‘rinishida qidiriladi
   
8. 
    soni xarakteristik tenglamani ildizi bo‘lmasa, xususiy yechimni qanday qidiramiz
   
9. 
   tenglamani yeching.
   
10. 
    tenglamani noomalum koeffitsientlar usulida yeching.