Karrali, egri chiziqli va sirt integrallari. Matematik statistika elementlari. Aylanma sirtlar va ularning tenglamalari

Karrali, egri chiziqli va sirt integrallari

• 
  Agar 𝑑 → 0 𝑆𝑛 integral yig’indining limiti mavjud bo’lsa, u holda uni . I- tur egri chiziqli integral deyiladi va u quyidagicha belgilanadi.
  
• 
  ∫ f(x,y)dl
  
• 
  Yoki
  
• 
  ∫ f(x,y)dl
  
• 
  Agar 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiya uzluksiz bo‘lsa
  
• 
  ∫ f(x,y)dl mavjud.
  

L
AB

L

Karrali, egri chiziqli va sirt integrallari

• 
  Sirt integrali
  
• 
  Aytaylik f(x,y,z) funksiya qandaydir S silliq sirtga berilgan bo‘lsin. S sohani S.,….Sn qismlarga ajratamiz, qism yuzlari mos ravishda ∆ℴ₁… . ∆ℴ𝑛 va diametrlari d₁….,dn. Har bir Si qismda 𝑀𝑖(𝑥𝑖,𝑦𝑖 , 𝑧𝑖) nuqtani tanlab quyidagi yig‘indini hosil qilamiz.
  
• 
  ∆
  
• 
  Bu yig‘indi 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) funksiya uchun I-tur integral yig‘indi deyiladi. Agar d → 0 (d-max,di) integral yig‘indi mavjud bo‘lsa (y S ni qismlarga ajratish usuliga va Mi nuqta tanlanishiga bog‘liq bo‘lmaydi) u holda bu yig‘indi I-tur sirt integrali deb ataladi va quyidagicha ifodalanadi.
  
• 
  ∫∫ f(x,y,z)d
  

• 
  

S

Sirt integrali

• 
  Agar 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) uzluksiz bo‘lsa
  
• 
  ∫∫ f(x.y.z)d
  
• 
  Integral mavjud.
  
• 
  I-tur sirt integrllari I tur egri chiziqli integral kabi aniqlanadi. Ularning xossalari ham o‘xshashdir. Agar S sirt D sohaning oxy tekislikga 𝑧 = 𝑧(𝑥,𝑦) funksiya orqali berilsa, shu bilan birga z(x,y) funksiya 𝑧𝑥′=𝑧𝑥′ (x,y) va 𝑧𝑦′=𝑧𝑦′ (x,y) hosilalari bilan uzluksiz bo‘lsa, sirt integrali quyidagi ikki karrali integralni hisoblashga keltiriladi.
  
• 
  

• 
  

S

Sirt integrali

• 
  Agar S parametrik ko‘rinishda 𝑥 = 𝑥(𝑢,𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢. 𝑣), 𝑧 = 𝑧 (𝑢,𝑣) orqali berilsa 𝑥𝑦𝑧 – 𝜎 sohaning 𝑂𝑢𝑣 tekislikda uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsa, u holda
  
• 
  Bu yerda