Agar D sohada f 0 bo’lsa, u holda har bir f(Pi)∆si qo‘shiluvchini, geometrik jihatdan asosi ∆si ga, balandligi esa f(Pi) ga teng bo‘lgan silindrning hajmi deb qarash mumkin.
Vn yig’indi, ko‘rsatilgan elementar silindrchalarning hajmlarining yig’indisi, ya’ni qandaydir “pog‘onali” jismning hajmi bo’ladi.
Berilgan D soha uchun f x y ( , ) funksiya yordami bilan tuzilgan integral yig’indilarning D sohani i s bo’laklarga turli usullar bilan bo’lishdan hosil qilingan ihtiyoriy
Vn₁, Vn₂,…,Vnк,… (2)
ketma-ketlikni qaraymiz. nк da ∆si yuzalarning maksimal diametri nolga intiladi deb faraz etamiz.
Karrali, egri chiziqli va sirt integrallari
1-teorema. Agar f(x,y) funksiya yopiq D sohada uzluksiz va nk da ∆si yuzaning maksimal diametri nolga intilsa, (1) integral yig‘indilardan hosil bo‘lgan (2) ketma-ketlikning limiti mavjud bo‘ladi. Bu limit (2) shakldagi har qanday ketmaketlik uchun bir xildir, ya’ni u D sohani ∆si yuzaga bo‘lish usuliga va bu ∆si yuza ichida Pi nuqtani tanlab olish usuliga bog‘liq emas.
Bu limitni f(x,y) funksiyaning D soha bo‘yicha olingan ikki o‘lchovli integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
yoki
ya’ni:
Bu yerda D soha integrallash sohasi deyiladi.
Karrali, egri chiziqli va sirt integrallari
Agar f(x,y) ≥ 0 bo‘lsa, f(x,y) funksiyaning D soha bo‘yicha olingan ikki o‘lchovli integrali z = f(x,y) sirt z = 0 tekislik va yasovchisi Oz o‘qqa parallel, yo‘naltiruvchisi esa D sohaning chegarasidan iborat bo‘lgan silindrik sirt bilan chegaralangan jismning hajmiga tengdir.
Karrali, egri chiziqli va sirt integrallari
Egri chiziqli va sirt integrallari
Oxy tekislikda ikki o‘zgaruvchili uzluksiz 𝐿 = 𝐴𝐵 egri chiziq berilgan bo‘lsin. Egri chiziqni ixtiyoriy n bo‘llaka bo‘lamiz. 𝐴 = 𝑀₀, 𝑀₁, 𝑀₂, … 𝑀𝑛 = 𝐵 hosil bo‘lgan 𝑀𝑖−1𝑀𝑖 qismida 𝑖ℎ𝑡𝑖𝑦𝑜𝑟𝑖𝑦 𝑀𝑖 (𝑥𝑖,𝑦𝑖) 𝑛𝑢𝑞𝑡𝑎ni tanlab, quyidagi yig‘indini hosil qilamiz.
Sn=∆ℓ
∆𝑙𝑖 = 𝑀𝑖−1𝑀𝑖 − 𝑀𝑖−1𝑀𝑖 yoy uzunligi. Olingan yig’indi L egri chiziqda berilgan egri chiziqda berilgan 𝑓(𝑥,𝑦) funksiya uchun I- tur integral yg’indi deyiladi.
D orqаli 𝑀𝑖−1𝑀𝑖 yoylarning eng uzunini belgilaylik
