Katta sonlar qonuni

Chebishev tengsizligi. Ixtiyoriy kichik e musbat soni uchun quyidagi tengsizlik bajariladi:
Chebishev teoremasi. Agar x x, x 2, ..., x n - juftlik mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar, ularning har biri matematik kutishga ega E(Xj) = ci va dispersiya D(x,) =) va dispersiyalar bir xil chegaralangan, ya'ni. 1,2 ..., keyin o'zboshimchalik bilan kichik musbat son uchun e munosabat bajariladi:
Natija. Agar a,= aio, -o 2 , ya'ni= 1,2 ..., keyin
Vazifa. Hech bo'lmaganda ehtimollik bilan tangani necha marta tashlash kerak y - 0,997 bo'lsa, Gerbning chastotasi (0,499; 0,501) oraliqda bo'ladi, deb bahslashish mumkinmi?
Aytaylik, tanga nosimmetrik, p - q - 0,5. Biz (9.19) formuladagi Chebishev teoremasini tasodifiy miqdorga qo'llaymiz X- gerbning paydo bo'lish chastotasi P tanga tashlash. Biz buni yuqorida ko'rsatdik X = X x + X 2 + ... +X„, qayerda X t - gerb tushib ketgan taqdirda 1 qiymatini va dumlari tushib ketgan taqdirda 0 qiymatini oladigan tasodifiy o'zgaruvchi. Shunday qilib:
Ehtimollik belgisi ostida ko'rsatilgan hodisaga qarama-qarshi hodisa uchun tengsizlikni (9.19) yozamiz:
Bizning holatda, [e \u003d 0,001, cj 2 \u003d /? -p)] t - bu mamlakatdagi gerblar soni P otish. Ushbu miqdorlarni oxirgi tengsizlikka almashtirib, masalaning shartiga ko'ra, tengsizlik qanoatlantirilishi kerakligini hisobga olib, biz quyidagilarni olamiz:
Berilgan misol tasodifiy o'zgaruvchilarning ma'lum og'ishlari ehtimolini baholash uchun Chebishev tengsizligidan foydalanish imkoniyatini ko'rsatadi (shuningdek, ushbu ehtimolliklarni hisoblash bilan bog'liq ushbu misol kabi muammolar). Chebishev tengsizligining afzalligi shundaki, u tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonunlarini bilishni talab qilmaydi. Albatta, agar bunday qonun ma'lum bo'lsa, Chebyshevning tengsizligi juda qo'pol baho beradi.
Xuddi shu misolni ko'rib chiqing, ammo tanga tashlash Bernulli sxemasining alohida holati ekanligidan foydalaning. Muvaffaqiyatlar soni (misolda - gerblar soni) binomial qonunga bo'ysunadi va katta P bu qonunni Moivr - Laplas integral teoremasi bilan matematik kutilgan normal qonun sifatida ifodalash mumkin. a = pr = n? 0,5 va standart og'ish bilan a = yfnpq- 25=0,5l/l. Tasodifiy o'zgaruvchi - gerb chastotasi - matematik kutish = 0,5 va standart og'ish
Keyin bizda:
Oxirgi tengsizlikdan biz quyidagilarni olamiz:
Oddiy taqsimot jadvallaridan biz quyidagilarni topamiz:
Ko'ramizki, oddiy yaqinlashish tanga otishlar sonini beradi, bu gerb ehtimolini baholashda berilgan xatolikni ta'minlaydi, bu Chebishev tengsizligi yordamida olingan taxmindan 37 marta kichikdir (lekin Chebishev tengsizligi o'rganilayotgan tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni to'g'risidagi ma'lumotlarga ega bo'lmagan taqdirda ham shunga o'xshash hisob-kitoblarni bajaring).
Endi (9.16) formula yordamida yechilgan amaliy masalani ko'rib chiqamiz.
Raqobat muammosi. Ikki raqobatchi temir yo'l kompaniyasining har birida Moskva va Sankt-Peterburg o'rtasida bittadan poyezd qatnovi bor. Ushbu poezdlar taxminan bir xil tarzda jihozlangan, ular ham taxminan bir vaqtning o'zida jo'naydi va keladi. Keling, shunday da'vo qilaylik P= 1000 yo'lovchi mustaqil ravishda va tasodifiy ravishda o'zlari uchun poezdni tanlaydilar, shuning uchun yo'lovchilar tomonidan poezdni tanlashning matematik modeli sifatida biz Bernulli sxemasidan foydalanamiz. P sinovlar va muvaffaqiyatga erishish imkoniyati R= 0,5. Kompaniya bir-biriga qarama-qarshi bo'lgan ikkita shartni hisobga olgan holda poezdda nechta o'rinni ta'minlashni hal qilishi kerak: bir tomondan, ular bo'sh o'rindiqlarga ega bo'lishni xohlamaydilar, boshqa tomondan, ular norozi ko'rinishni xohlamaydilar. o'rindiqlarning etishmasligi (keyingi safar ular raqobatdosh firmalarni afzal ko'radilar). Albatta, siz poezdda ta'minlay olasiz P= 1000 o'rindiq, lekin keyin albatta bo'sh o'rindiqlar bo'ladi. Moivre integral nazariyasidan foydalangan holda qabul qilingan matematik model doirasida tasodifiy o'zgaruvchi - poezddagi yo'lovchilar soni - Laplas matematik kutish bilan normal qonunga bo'ysunadi. a = pr = n/2 va dispersiya a 2 = npq = p/4 ketma-ket. Poezdning ko'proq kelishi ehtimoli s yo'lovchilar nisbati bilan belgilanadi:
Xavf darajasini belgilang lekin dan ko'p bo'lish ehtimoli, ya'ni s yo'lovchilar: 
Bu yerdan: 
Agar lekin- normal qonunning taqsimot funksiyasi jadvallarida topilgan oxirgi tenglamaning xavf ildizini olamiz: 
Agar, masalan, P = 1000, lekin= 0,01 (bu xavf darajasi joylarning sonini bildiradi s 100 tadan 99 ta holatda etarli bo'ladi), keyin x a ~ 2.33 va s= 537 o'rin. Bundan tashqari, agar ikkala kompaniya ham bir xil xavf darajasini qabul qilsa lekin= 0,01, keyin ikkita poyezd jami 1074 o'ringa ega bo'ladi, ulardan 74 tasi bo'sh bo'ladi. Xuddi shunday, 514 o'rin barcha holatlarning 80 foizida va 1000 holatdan 999 tasida 549 o'rin etarli bo'lishini hisoblash mumkin.
Xuddi shunday mulohazalar boshqa raqobatbardosh xizmatlar muammolariga ham tegishli. Masalan, agar T kinoteatrlar ham xuddi shunday kurashadi P tomoshabinlar, buni qabul qilish kerak R= -. olamiz
bu o'rindiqlar soni s kinoda nisbati bilan belgilanishi kerak:
Bo'sh o'rindiqlarnng umumiy soni quyidagilarga teng:
Uchun lekin = 0,01, P= 1000 va T= 2, 3, 4, bu raqamning qiymatlari mos ravishda taxminan 74, 126, 147 ga teng.
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Poezd bo'lsin P - 100 vagon. Har bir vagonning og'irligi matematik kutilgan tasodifiy o'zgaruvchidir lekin - 65 t va o'rtacha kvadrat kutish o = 9 t.Lokomotiv poezdni og'irligi 6600 t dan oshmasa, tashishi mumkin; aks holda, siz ikkinchi lokomotivni ulashingiz kerak. Buning kerak bo'lmasligi ehtimolini topishimiz kerak.
individual vagonlarning og'irligi: bir xil matematik kutishga ega lekin - 65 va bir xil farq d- o 2 \u003d 81. Matematik taxminlar qoidasiga ko'ra: E(x) - 100 * 65 = 6500. Dispersiyalarni qo'shish qoidasiga ko'ra: D(x) \u003d 100 x 81 \u003d 8100. Ildizni olib, biz standart og'ishni topamiz. Bir lokomotiv poezdni tortib olishi uchun poezdning og'irligi bo'lishi kerak X cheklovchi bo'lib chiqdi, ya'ni interval (0; 6600) chegarasiga tushdi. X tasodifiy o'zgaruvchisi - 100 ta a'zolar yig'indisi - normal taqsimlangan deb hisoblash mumkin. (9.16) formula bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

Bundan kelib chiqadiki, lokomotiv taxminan 0,864 ehtimollik bilan poyezdni "boshqaradi". Keling, poezddagi vagonlar sonini ikkiga kamaytiraylik, ya'ni olib ketaylik P= 98. Endi lokomotivning poezdni "boshqarish" ehtimolini hisoblab chiqsak, biz 0,99 tartib qiymatini olamiz, ya'ni deyarli ma'lum bir hodisa, garchi buning uchun faqat ikkita vagonni olib tashlash kerak edi.
Shunday qilib, agar biz juda ko'p tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi bilan ishlayotgan bo'lsak, u holda biz normal qonundan foydalanishimiz mumkin. Tabiiyki, bu savol tug'iladi: yig'indini taqsimlash qonuni allaqachon "normallashtirilgan" bo'lishi uchun qancha tasodifiy o'zgaruvchilar qo'shilishi kerak? Bu atamalarni taqsimlash qonunlari qanday ekanligiga bog'liq. Shunday murakkab qonunlar mavjudki, normalizatsiya faqat juda ko'p sonli atamalar bilan sodir bo'ladi. Ammo bu qonunlar atematiklar tomonidan ixtiro qilingan, tabiat esa, qoida tariqasida, bunday muammolarni tartibga solmaydi. Odatda amalda oddiy qonundan foydalana olish uchun besh-olti atama kifoya qiladi.
Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar yig‘indisining taqsimlanish qonunining “normallashtirish” tezligini (0, 1) intervalda bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar misolida ko‘rsatish mumkin. Bunday taqsimotning egri chizig'i to'rtburchaklar shakliga ega, bu allaqachon oddiy qonunga o'xshamaydi. Biz ikkita mustaqil miqdorni qo'shamiz - biz Simpson qonuni deb ataladigan narsaga muvofiq taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchini olamiz, uning grafik ko'rinishi shaklga ega. teng yonli uchburchak. Bu ham oddiy qonunga o'xshamaydi, lekin yaxshiroq. Va agar siz uchta bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarni qo'shsangiz, oddiy egri chiziqqa juda o'xshash parabolalarning uchta segmentidan iborat egri chiziqqa ega bo'lasiz. Agar siz oltita shunday tasodifiy o'zgaruvchilarni qo'shsangiz, siz odatdagidan farq qilmaydigan egri chiziqqa ega bo'lasiz. Bu oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorni olishning keng tarqalgan usulining asosi bo'lib, barcha zamonaviy kompyuterlar bir xil taqsimlangan (0, 1) tasodifiy sonlarning sensorlari bilan jihozlangan.
Buni tekshirishning amaliy usullaridan biri sifatida quyidagi usul tavsiya etiladi. Biz darajali hodisaning chastotasi uchun ishonch oralig'ini quramiz da Uch sigma qoidasiga ko'ra = 0,997:
va agar uning ikkala uchi (0, 1) segmentdan tashqariga chiqmasa, u holda normal qonundan foydalanish mumkin. Ishonch oralig'ining chegaralaridan birortasi (0, 1) segmentdan tashqarida bo'lsa, u holda normal qonundan foydalanish mumkin emas. Biroq, ma'lum sharoitlarda, ba'zi tasodifiy hodisaning chastotasi uchun binomial qonun, agar u normalga moyil bo'lmasa, boshqa qonunga moyil bo'lishi mumkin.
Ko'pgina ilovalarda Bernulli sxemasi tasodifiy tajribaning matematik modeli sifatida qo'llaniladi, unda sinovlar soni P ajoyib, tasodifiy hodisa juda kam, ya'ni. R = va boshqalar kichik emas, lekin katta emas (O -5 - 20 oralig'ida o'zgarib turadi). Bunday holda, quyidagi munosabatlar mavjud:
Formula (9.20) binomial qonun uchun Puasson yaqinlashuvi deb ataladi, chunki uning o'ng tomonidagi ehtimollik taqsimoti Puasson qonuni deb ataladi. Puasson taqsimoti nodir hodisalar uchun ehtimollik taqsimoti deyiladi, chunki u chegaralar bajarilganda sodir bo'ladi: P -»°°, R-»0, lekin X = pr oo.
Misol. Tug'ilgan kunlar. Ehtimollik qanday R t (k) bu 500 kishidan iborat jamiyatda uchun Yangi yil kuni tug'ilgan odamlar? Agar ushbu 500 kishi tasodifiy tanlangan bo'lsa, u holda Bernulli sxemasi muvaffaqiyat ehtimoli bilan qo'llanilishi mumkin. P = 1/365. Keyin
Turli xil ehtimolliklarni hisoblash uchun quyidagi qiymatlarni bering: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... uchun Puasson formulasi bo'yicha mos keladigan taxminlar X= 500 1/365 = 1,37
quyidagi qiymatlarni bering: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; R b = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0,0023... Barcha xatolar faqat to'rtinchi kasrda.

Xulosa

Bizga ma`lumki tasodifiy miqdorlarni qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari juda ko`p tasodifiy sabablarga bog`liqdir. Aslini olganda ularni qonuniyatlari sinashlar soni ortishi bilan namoyon bo`ladi. Lеkin ba`zi shartlarni qo`yish natijasida tasodifiy miqdorlar yig`indilari qonuniyatga ega bo`ladi. Ana shunday qonuniyatlarni va ularga qo`yiladigan shartlarni bilish amaliyotda juda katta ahamiyatga ega. Bu masalalarga bag`ishlangan eng asosiy tеorеmalarni Bеrnulli va Chеbеshеvlar yaratgan. Bu tеorеmalarni isbotlash uchun Chеbеshеv tеngsizligidan foydalaniladi.
Katta sonlar qonuni statistikaning tanlab kuzatish mеtodini nazariy asosini tashkil qiladi. Tanlab kuzatish mеtodi juda katta to`plam, ya`ni bosh to`plamni tеkshirish imkoniyati bo`lmaganligi sababli undan kichik bir to`plam ajratib olinadi. Va olingan to`plam tеkshirilib, natija butun to`plamga yoyiladi. Masalan, paxta tolasini mustahkamligini tеkshirish uchun hamma ishlab chiqilgan paxtani tеkshirib bo`lmaydi faqat har-har joydan kamdan olinib tеkshirilib xulosa hamma еtishtirilgan paxtaga yoyiladi. Boshqa misol еtishtirilgan bug`doyni sifatini aniqlash uchun atigi kamgina olib tеkshiriladi, lеkin kichkina xatolik bilan ma`lum ombordagi bug`doyni sifati aniqlanadi. Xullas, katta sonlar qonunini hamma tajribaga asoslangan amaliy fanlarda qo`llaniladi.