Katta sonlar qonuni

Teorema (Bernulli teoremasi). ta bog’lanmagan tajribalarda hodisa ro’y berishlari soni har bir tajribada hodisa ro’y berish ehtimoli o’zgarmas bo’lib gat eng bo’lsa, uchun

bo’ladi.
Biz quyidagi Markov teoremasini isbotsiz keltiramiz.
Teorema: tasodifiy miqdorlari ketma-ketligi uchun da
bo’lsa, tasodifiy miqdor ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysunadi
Endi katta sonlar qonuniga bo’ysunish uchun zarur va yetarli shartlarni ifodalovchi teoremani keltiramiz.
Teorema: tasodifiy miqdor ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni o’rinli bo’lishi uchun da
(9)
munosabatning o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti: Biz (9) bajarilganda katta sonlar qonunli o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. belgilashni kiritamiz. bo’lsin. ko’rsatish yetarli
U holda

.
Bundan esa (9) ga asosan . Teoremaning yetarli qismi isbotlandi.
Endi (9) ning zaruriyligini isbotlaymiz.


ni yetalicha kichik, ni yetarlicha katta tanlab (9) ga ega bo’lamiz.

Katta sonlar qonuni

Tajriba natijasida X tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymati-ni oldindan aytish mumkin emas, ya’ni u tasodifan qiymat qabul qiladi. Lekin soni katta bo‘lgan tasodifiy miqdorlar yig‘indisi o‘zining tasodifiylik xususiyatini yo‘qotar ekan. Amaliyot uchun juda ko‘p taso-difiy sabablarning birgalikdagi ta’siri tasodifga deyarli bog‘liq bo‘lmay-digan natijaga olib keladigan shartlarni bilish juda muhimdir, chunki bu tasodifiy hodisalarning qanday rivojlanishini oldindan ko‘ra bilishga imkon beradi.
Faraz qilaylik, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin va bu tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishlari mavjud bo‘lib, ular mos ravishda bo‘lsin.
Ta’rif. Agar har qanday kichik soni uchun





munosabat bajarilsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni o‘rinli deyiladi.
Bu ta’rifning ma’nosi quyidagicha: n ning yetarlicha katta qiymatlarida


X=


tasodifiy miqdorni tasodifiy bo‘lmagan


a=


son bilan almashtirgan bo‘lamiz.
Katta sonlar qonuni qachon o‘rinli bo‘ladi? degan savolga quyidagi teorema javob beradi.
2.2 Chebeshev teoremasi
Chebishev teoremasi tasodifiy miqdorlar o‘zaro bog‘liq bo‘lmay, ularning har biri C soni bilan chegaralangan dispersiyaga ega bo‘lsa, u holda berilgan ketma-ketlik uchun katta sonlar qonuni o‘rinli bo‘ladi.
Bernulli teoremasi. n ta erkli tajribada A hodisaning ro‘y berishlari soni bo‘lsin, har bir tajribada A hodisa o‘zgarmas P ehtimol bilan ro‘y bersin. U holda, ixtiyoriy soni uchun

munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Bu teoremaning ma’nosi quyidagicha: n yetarlicha katta bo‘lganda ni istalgan aniqlik bilan P ga teng deb olish mumkin. Ya’ni ning qiymatlari P ehtimol atrofida joylashgan bo‘ladi. Bundan tashqari, bu teorema sinashlar soni yetarlicha katta bo‘lganda nisbiy chastota nima uchun turg‘unlik xossasiga ega bo‘lishini tushuntiradi va ehtimolning statistik ta’rifini asoslaydi.
Yuqoridagi teoremalarni isbotlashda Chebishev tengsizligi muhim ahamiyatga ega:
Chebishev tengsizligi. Birinchi forma: agar X tasodifiy miqdor musbat bo‘lib, M(X) matematik kutilishiga ega bo‘lsa,


P{X>
Ikkinchi forma: agar D(X) bo‘lsa, u holda ixtiyoriy son uchun



271-misol. tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo‘lib, tasodifiy miqdor –n,o,n qiymatlarini mos ravishda ehtimollar bilan qabul qiladi. Shu tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni o‘rinli bo‘ladimi?


Yechish: Chebishev teoremasidan foydalanamiz.








Ko‘rinib turibdiki, hamma tasodifiy miqdorlarning dispersiyasi bir xil. U holda, ular yagona son bilan chegaralangan bo‘ladi. Chebishev teoremasining shartlari bajarilganligi sababli, bu ketma-ketlikka katta sonlar qonunini tatbiq qilsa bo‘ladi.


Bugungi kunda katta sonlarning matematik qonuni ko'plab real jarayonlarning qandaydir umumiy mulkining aksi bo'lib tuyuladi.
Bu qonunni qo'llashning tugallanmagan potentsial imkoniyatlariga to'g'ri keladigan katta sonlar qonuniga imkon qadar kengroq hajm berish istagiga ega bo'lib, asrimizning eng buyuk matematiklaridan biri A.N.Kolmogorov uning mohiyatini quyidagicha shakllantirdi: katta sonlar qonuni. Bu "umumiy printsip bo'lib, unga ko'ra ko'p sonli tasodifiy omillarning ta'siri tasodifdan deyarli mustaqil natijaga olib keladi.
Shunday qilib, katta sonlar qonuni, go'yo ikki talqinga ega. Biri matematik bo'lib, aniq matematik modellar, formulalar, nazariyalar bilan bog'liq, ikkinchisi esa umumiyroq bo'lib, bu doiradan tashqariga chiqadi. Ikkinchi talqin ko'pincha amalda qayd etilgan, tashqi ko'rinishda bunday uzluksizlikka ega bo'lmagan ko'p miqdordagi yashirin yoki ko'rinadigan ta'sir qiluvchi omillar fonida u yoki bu darajada yo'naltirilgan harakatning shakllanishi hodisasi bilan bog'liq. Ikkinchi talqin bilan bog'liq misollar - erkin bozorda narx belgilash, muayyan masala bo'yicha jamoatchilik fikrini shakllantirish.
Katta sonlar qonunining bunday umumiy talqinini qayd etib, keling, ushbu qonunning maxsus matematik formulalariga murojaat qilaylik.
Yuqorida aytib o'tganimizdek, ehtimollar nazariyasi uchun birinchi va eng muhimi Bernulli teoremasidir. Atrofdagi dunyoning eng muhim qonuniyatlaridan birini aks ettiruvchi ushbu matematik faktning mazmuni quyidagilarga qisqartiriladi.
Bir-biriga bog'liq bo'lmagan (ya'ni, mustaqil) testlar ketma-ketligini ko'rib chiqing, ularning shartlari sinovdan sinovga o'zgarmas ravishda takrorlanadi. Har bir test natijasi bizni qiziqtirgan hodisaning ko'rinishi yoki ko'rinmasligidir. LEKIN.
Эту процедуру (схему Бернулли), очевидно, можно признать типичной для многих практических областей: «мальчик - девочка» в последовательности новорожденных, ежедневные метеорологические наблюдения («был дождь - не был»), контроль потока выпускаемых изделий («нормальное - дефектное») va hokazo.
Voqea sodir bo'lish chastotasi LEKIN da P sinovlar ( t A -
hodisalar chastotasi LEKIN ichida P testlar) o'sishi bilan mavjud P uning qiymatini barqarorlashtirish tendentsiyasi, bu empirik haqiqatdir.