Katta sonlar qonuni

2.3 Bernulli teoremasi
Bernulli teoremasi. Har qanday ixtiyoriy kichik musbat sonni tanlaymiz e. Keyin
Biz Bernulli tomonidan ma'lum bir matematik modelda (Bernulli sxemasida) o'rnatilgan matematik faktni chastota barqarorligining empirik tarzda o'rnatilgan qonuniyati bilan aralashtirib yubormaslik kerakligini ta'kidlaymiz. Bernoulli faqat (9.1) formulaning bayonoti bilan kifoyalanmadi, balki amaliyot ehtiyojlarini hisobga olgan holda, u ushbu formulada mavjud bo'lgan tengsizlikni baholadi. Quyida ushbu talqinga qaytamiz.
Bernullining katta sonlar qonuni uni takomillashtirishga intilayotgan ko‘plab matematiklarning tadqiqot ob’ekti bo‘ldi. Ana shunday takomillashtirishlardan biri ingliz matematigi Moivr tomonidan olingan va hozirda Moivr-Laplas teoremasi deb ataladi. Bernulli sxemasida normalangan miqdorlar ketma-ketligini ko'rib chiqing:
Moivr - Laplasning integral teoremasi. Istalgan ikkita raqamni tanlang X ( Va x 2. Bu holda, x, x 7, keyin qachon P -» °°
Agar (9.3) formulaning o'ng tomonida o'zgaruvchi bo'lsa x x cheksizlikka moyil bo'lsa, u holda faqat x 2 ga bog'liq bo'lgan natija chegarasi (bu holda 2 indeksini olib tashlash mumkin) taqsimlash funktsiyasi bo'ladi, u deyiladi. standart normal taqsimot, yoki Gauss qonuni.
(9.3) formulaning o'ng tomoni y = ga teng F(x 2) - F(x x). F(x2)-> 1 da x 2-> °° va F(x,) -> x uchun 0, -> Yetarlicha kattalikni tanlab
X] > 0 va mutlaq qiymatda yetarlicha katta X] n tengsizlikni olamiz:
Formula (9.2) ni hisobga olgan holda biz amalda ishonchli hisob-kitoblarni olishimiz mumkin:
Agar y = 0,95 ning ishonchliligi (ya'ni, xatolik ehtimoli 0,05) kimdir uchun etarli bo'lmasa, siz "xavfsiz o'ynashingiz" va yuqorida aytib o'tilgan uchta sigma qoidasidan foydalanib, biroz kengroq ishonch oralig'ini yaratishingiz mumkin:
Bu interval juda mos keladi yuqori daraja ishonch y = 0,997 (normal taqsimot jadvallariga qarang).
Tanga tashlash misolini ko'rib chiqing. Keling, tanga tashlaymiz n = 100 marta. Bu chastota sodir bo'lishi mumkin R ehtimoldan juda farq qiladi R= 0,5 (tanganing simmetriyasini hisobga olgan holda), masalan, u nolga teng bo'ladimi? Buning uchun gerb bir marta ham tushmasligi kerak. Bunday hodisa nazariy jihatdan mumkin, ammo biz bunday ehtimolliklarni allaqachon hisoblab chiqdik, bu hodisa uchun u teng bo'ladi  Bu qiymat
juda kichik, uning tartibi 30 kasrdan iborat raqam. Bunday ehtimolga ega bo'lgan hodisani deyarli imkonsiz deb hisoblash mumkin. Ko'p sonli tajribalar bilan chastotaning ehtimollikdan qanday og'ishlari amalda mumkin? Moivr-Laplas teoremasidan foydalanib, biz bu savolga quyidagicha javob beramiz: ehtimollik bilan da= 0,95 gerb chastotasi R ishonch oralig'iga mos keladi:
Agar 0,05 xatolik unchalik katta bo'lmasa, tajribalar sonini ko'paytirish kerak (tanga tashlash). O'sish bilan P ishonch oralig'ining kengligi pasayadi (afsuski, biz xohlagancha tez emas, lekin teskari proportsional). -Jn). Masalan, qachon P= 10 000 biz buni olamiz R ishonch ehtimoli bilan ishonch oralig'ida yotadi da= 0,95: 0,5 ± 0,01.
Shunday qilib, biz chastotani ehtimollikka yaqinlashtirish masalasini miqdoriy jihatdan ko'rib chiqdik.
Endi uning chastotasidan hodisaning ehtimolini topamiz va bu yaqinlashishning xatosini baholaymiz.
Keling, ko'p sonli tajribalar qilaylik P(tanga tashladi), hodisaning chastotasini topdi LEKIN va uning ehtimolini baholamoqchi R.
Katta sonlar qonunidan P quyidagicha:
Keling, (9.7) taxminiy tenglikning amalda mumkin bo'lgan xatosini baholaylik. Buning uchun (9.5) tengsizlikdan quyidagi shaklda foydalanamiz:
Topish uchun R yoqilgan R tengsizlikni (9.8) yechish kerak, buning uchun uni kvadratga solish va mos keladiganini yechish kerak kvadrat tenglama. Natijada biz quyidagilarni olamiz:qayerda
Taxminan taxmin qilish uchun R yoqilgan R(9.8) formulada bo'lishi mumkin. R o'ngda, bilan almashtiring R yoki (9.10), (9.11) formulalarda ko'rib chiqiladi Keyin biz olamiz:
Ichkariga ruxsat bering P= 400 ta tajriba chastota qiymatini oldi R= 0,25, keyin ishonch darajasida y = 0,95 topamiz:
Ammo, masalan, 0,01 dan ko'p bo'lmagan xatolik bilan ehtimollikni aniqroq bilishimiz kerak bo'lsa-chi? Buning uchun tajribalar sonini ko'paytirish kerak.
(9.12) formulada ehtimollikni qabul qilib R= 0,25, xato qiymatini berilgan 0,01 qiymatiga tenglashtiramiz va tenglamani olamiz. P:
Ushbu tenglamani yechib, biz olamiz n~ 7500.
Keling, yana bir savolni ko'rib chiqaylik: tajribalarda olingan chastotaning ehtimollikdan og'ishini tasodifiy sabablar bilan izohlash mumkinmi yoki bu og'ish ehtimollik biz taxmin qilgandek emasligini ko'rsatadimi? Boshqacha qilib aytganda, tajriba qabul qilingan statistik gipotezani tasdiqlaydimi yoki aksincha, uni rad etishni talab qiladimi?
Misol uchun, tanga tashlaylik P= 800 marta, biz tepalik chastotasini olamiz R= 0,52. Biz tanga nosimmetrik emasligiga shubha qildik. Bu shubha asoslimi? Bu savolga javob berish uchun biz tanga nosimmetrik degan taxmindan kelib chiqamiz (p = 0,5). Ishonch oralig'ini topamiz (ishonch ehtimolligi bilan da= 0,95) gerbning paydo bo'lish chastotasi uchun. Agar tajribada olingan qiymat R= 0,52 bu intervalga to'g'ri keladi - hamma narsa normaldir, tanganing simmetriyasi haqidagi qabul qilingan faraz eksperimental ma'lumotlarga zid emas. Formula (9.12) uchun R= 0,5 0,5 ± 0,035 oralig'ini beradi; olingan qiymat p = 0,52 ushbu intervalga to'g'ri keladi, ya'ni tanga assimetriya shubhalaridan "tozalanishi" kerak bo'ladi.
Tasodifiy hodisalarda kuzatilgan matematik kutishdan turli xil og'ishlar tasodifiy yoki "muhim" ekanligini aniqlash uchun shunga o'xshash usullar qo'llaniladi. Misol uchun, qadoqlangan tovarlarning bir nechta namunalarida tasodifiy kam vazn bormi yoki bu xaridorlarning muntazam ravishda aldashini ko'rsatadimi? Yangi dorini qo'llagan bemorlarda tiklanish darajasi tasodifan oshganmi yoki bu dori ta'siridanmi?
Oddiy qonun ehtimollar nazariyasi va uning amaliy qo'llanilishida ayniqsa muhim rol o'ynaydi. Yuqorida biz tasodifiy o'zgaruvchi - Bernulli sxemasida qandaydir hodisaning sodir bo'lish soni - qachon ekanligini ko'rdik. P-» °° normal qonunga tushadi. Biroq, ancha umumiy natija bor.