Kirish. Asosiy qism. Ikkinchi tartibli differenstil tenglmalar nazariyasi taqqoslash teoremasi

Natija 1.Agar y''+p(x)y=0 tenglamada bo’lsa, u xolda uning hamma yechimlari tebranmasdir.
Isbot. (1), (2) tenglamada p₁(x)=p(x), p₂(x)=0 deb olamiz. Teskarisincha faraz etamiz (1) tenglamaning ixtiyoriy y(x) yechimi ikkita ketma-ket x₀,x₁ nollarga ega bo’lsin. U xolda [x₀,x₁] oraliqda z''(x)=0 tenglamaning ixtiyoriy yechimi nolga aylanishi zarur.
Buning bo’lishi mumkin emas.Masalan yechim uchun.
Shturm teoremasini xam taqqoslash teoremasidan foydalanib isbotlash mumkin.
Natija 2.y''+p(x)y=0 tenglamaning chiziqli bog’lik bo’lmagan tebranuvchi yechimlarining nollari navbatlashib keladi.
Boshqacha aytganda y₁(x) yechimning ixtiyoriy ikkita ketma-ket noli orasida y₂(x) yechimning bitta noli yotadi.
Isbot.y₁(x),y₂(x) tenglamaning chiziqli bog’lik bo’lmagan yechimlari bo’lsin. Ular umumiy nolga ega bo’lishi mumkin emas, chunki y₁(x₀)=y₂(x₀)=0 bo’lganda edi, bularning Vronskiy determinanti x₀nuqtada nolga teng bo’lar edi. Buning bo’lishi mumkin emas chunki y₁(x)va y₂(x) chiziqli bog’lik emas.
Faraz etaylik x₁,x_2, y₁(x) ning qo’shni nollari bo’lsin. Taqqoslash uchun (1), (2) tenglamada
p₁(x)=p₂(x)=p(x)
deb olamiz.
Taqqoslash teoremasiga asosan y₁(x) yechimning x₁vax₂ nollari orasida y₂(x) yechimning x₃ noli yotadi.
Agar y₂(x) yechim yana bitta nolga ega bo’lsa edi, isbotlaganimizga asosan y₁(x) yechim x₃ va x₄ nollar orasida nolga ega bo’lar edi. Buning bo’lishi mumkin emas chunki x₁,x₂qo’shni nollar.
Misol.
Bessel tenglamasini oraliqda qaraymiz. almashtirishyordamidauni
(6)
ko’rinishgakeltiramiz.
Bundazoldidagikoeffisiyent bo’lgandabirdankatta , bo’lgandabirdankichikbo’ladi.
(6) tenglamani
y''+y=0
tenglama bilan taqqoslab, Bessel funksiyasining ketma-ket nollari orasidagi masofa ρ,
da π dan kichik (ρ< π) va da π dan katta bo’ladi (ρ>π)
da Bessel funksiyasining ketma-ket nollari orasidagi masofa ρ= π ga teng bo’ladi.