Kirish. I. Bob. Chiziqsiz tenglamalar sistemasini yechish metod va usullari

2.2.Oddiy interpolitsiya metodining yaqinlashishi.
f(x)=0 (1)
tenglamani ekvivalent
x=S(x) (2)
ko‘rinishda yozamiz va x₀ dastlabki yaqinlashishni tanlab olib
x_k+1=S(x_k), k=0,1, (3)
oddiy iteratsiyani qaraymiz. (3)-iteratsiya yaqinlashadi deb aytiladi, agar {x_k} ketma-ketlik k, limitga ega bo‘lsa. Quyidagi teoremada (2)-tenglamaning echimi mavjudligi va yagonaligiga kafolat beruvchi shartlar bayon qilinadi.
Agar to‘plamning ixtiyoriy x , x nuqtalari uchun
(4)
tengsizlik bajarilsa S(x) funksiya to‘plamda Lipщits shartini qanoatlantirdi deb aytiladi (yoki lipщits uzluksiz). Kelajakda x lar to‘plami sifatida
U_r(a) = (5)
markazi a- da bo‘lgan uzunligi 2r ga teng kesma qaraladi.


Teorema. Agar S(x) U_r(a) kesmada q(0,1) o‘zgarmasli lipщits uzluksiz bo‘lib,
(6)
bajarilsa, unda (2)- tenglama U_r(a) da yagona x_* echimga ega bo‘lib, (3)-iteratsion ketma-ketlik ixtiyoriy x₀U_r(a) uchun x_* ga yaqinlashadi.
Xatolik uchun
(7)
(tengsizlik) baho o‘rinli bo‘ladi.


Isbot. Eng avval x_kU_r(a) k=1,2,.. ekanligini isbot qilamiz. Faraz qilamiz x_jU_r(a) bo‘lsin, x_j+1U_r(a) ekanligini isbot qilamiz.

tenglikdan

ekanligi ma’lum bo‘ladi.
Bundan lipщits - uzluksizlikni, induksiya farazini va (6)- ni inobatga olib

ya’ni x_j+1U_r(a) ekanligini hosil qilamiz.
Endi ikki qo‘shni x_j+1 va x_j yaqinlashishlar orasidagi farqni baholaymiz.

va barcha x_j lar U_r(a) dan bo‘lganligi uchun

yoki
(8)

tengsizlik hosil bo‘ladi.
(8)- baho {x_k} ketma-ketlikni fundamental ekanligini ko‘rsatishga imkon beradi. Haqiqatdan ham p ixtieriy natural son bo‘lsin.
Unda

(8)- ga asosan

ya’ni
(9)

bu tengsizlikdan k , o‘ng tomoni nolga intiladigan bo‘lganligi uchun va p- ga bog‘liq bo‘lmaganligi uchun {x_k} ning fundamentalligi kelib chiqadi.

Demak

(3)- da limitga o‘tib va S(x) funksiyaning uzluksizligini hisobga olib
x_*=S(x_*)
ekanligiga, ya’ni x_* ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Faraz qilamiz x_* (2)- ning U_r(a)- ga tegishli boshqa biror bir ildizi bo‘lsin. Unda
|x_*-x_*'|=|S(x_*)-S(x_*')|
va teoremaning shartiga ko‘ra
|x_*-x_*'| q|x_*-x_*'|.
Bunda q<1 bo‘lganligi uchun, oxirgi tengsizlik x_* = x_*' bo‘lgandagina bajariladi, ya’ni echim birdan-bir ekanligi kelib chiqadi.
(7)- tengsizlikni isbot qilamiz.
(3)- munosabatdan
x_k+1 - x_* = S(x_k) - S(x_*)
x_k va x_*U_r(a)
bo‘lganligi uchun
|x_k+1-x_*| q|x_k-x_*|
hosil bo‘ladi. Bu tengsizlik barcha k=0,1,2,... uchun bajariladi.
SHuning uchun

1-Izoh. Agar biror bir iteratsion metod uchun bajarilsa, bunda qM₁ k-ga bog‘liqmas bo‘lsa, unda iteratsion metod chiziqli q maxrajli geometrik progressiya tezligida yaqinlashadi deb aytiladi.

2-Izoh. (9) - da k- ni tanlab olib p- ni cheksizga intiltiramiz,
unda

hosil bo‘ladi. Bu tengsizlikning o‘ng tomonida x₁ va x₀ yaqinlashishlar turadi, q-ma’lum son. SHu sababli bu tengsizlikdan iteratsiya jarayonini to‘xtatish uchun foydalanish qulaydir.
1-Natija: Agar barchaxU_r(a) uchun
(12)
bajarilib, (6) -shart o‘rinli bo‘lsa va x₀U_r(a) bo‘lsa, (2)- tenglama birdan bir x_*U_r(a) echimga ega, (3)- metod yaqinlashadi va (7)- baho o‘rinlidir.
Haqiqatdan ham ,(12)-dan

2- Natija. Faraz qilamiz (2)- tenglama x_*- echimga ega bo‘lsin, S(x) funksiya
U_r(x_*) = {x : |x-x_*| r} (13)
kesmada uzluksiz differensiallanuvchi va |S'(x_*)|<1 bo‘lsin. Unda shunday > 0 mavjudki U_r(x_*) kesmada (2)- tenglama boshqa ildizga ega bo‘lmaydi va faqat x₀U_r(x_*) bo‘lganda (3)- metod yaqinlashadi.

8)Nyuton metodining yaqinlashishi.

Oddiy haqiqiy ildiz. Faraz qilamiz
f(x)=0 (1)
tenglama oddiy haqiqiy x_* ildizga ega bo‘lsin, f(x_*)=0 va f'(x_*) 0
bo‘lsin. Faraz qilamiz f(x) funksiya x_* ildizning etarlicha yaqin atrofida ikki marta uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin.
(2)
Nyuton metodini tadqiq etamiz. Eng avval (2)- ni oddiy iteratsiya metodining xususiy holi sifatida qaraymiz:
(3)
(4)
Oldin, biz (3)- metodning yaqinlashishi uchun ildizning etarlicha yaqin atrofida
(5)
tengsizlikning bajarilishi etarli ekanligini ko‘rsatgan edik.
(4)- funksiya uchun

munosabat o‘rinli. Agar x_*, f(x) ning ildizi bo‘lsa, unda S(x_*)=0 bo‘ladi. SHu sababli ildizning shunday atrofi borki (5) - tengsizlik bajariladi. Demak x₀ boshlang‘ich yaqinlashishni shunday tanlab olish mumkinki Nyuton metodi yaqinlashadi. Bu yaqinlashish oddiy yaqinlashish bo‘lmasdan u aslida kvadratik yaqinlashishdir.
Quyidagi teorema Nyuton metodining kvadratik yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatadi.
1-teorema. Faraz qilamiz x_* (1)-tenglamaning oddiy haqiqiy ildizi bo‘lib
U_r(x_*)={x : |x-x_*|atrofda bo‘lsin. Faraz qilamiz f(x) , U_r(x_*) atrofda uzluksiz va
(6)
bo‘lib ,
(7)
bo‘lsin. Unda agar x₀U_r(x_*) bo‘lsa, (2)- Nyuton metodi yaqinlashadi va xatolik uchun (8)
baho o‘rinli , bunda
XULOSA.
Nochiziqli tenglamalarni 2 sinfga bo'lish mumkin - algebraik va transsendental. Algebraik tenglamalar faqat algebraik funksiyalarni (butun, ratsional, irratsional) o'z ichiga olgan tenglamalar deyiladi. Xususan, polinom butun algebraik funktsiyadir. Boshqa funktsiyalarni (trigonometrik, eksponensial, logarifmik va boshqalar) o'z ichiga olgan tenglamalar deyiladi. transsendent.
Nochiziqli tenglamalarni yechish usullari ikki guruhga bo'linadi:
aniq usullar;
iterativ usullar.
Aniq usullar ildizlarni qandaydir chekli munosabat (formula) shaklida yozishga imkon bering. Maktab algebrasi kursidan bunday usullar trigonometrik, logarifmik, ko'rsatkichli, shuningdek, eng oddiy algebraik tenglamalarni yechish uchun ma'lum.
Ma'lumki, ko'pgina tenglamalar va tenglamalar tizimlarining analitik yechimlari mavjud emas. Avvalo, bu ko'pchilik transsendental tenglamalarga tegishli. Bundan tashqari, to'rtinchi darajadan yuqori bo'lgan ixtiyoriy algebraik tenglamani yechish mumkin bo'lgan formulani qurish mumkin emasligi isbotlangan. Bundan tashqari, ba'zi hollarda tenglama faqat taxminan ma'lum bo'lgan koeffitsientlarni o'z ichiga oladi va shuning uchun tenglamaning ildizlarini aniq aniqlash muammosining o'zi o'z ma'nosini yo'qotadi. 
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI.
1.A.A. Samarskiy , A.V. Gulin , CHislennыe metodы . Uk.Kul ., M., Nauka ., 1989
2.M.I. Israilov ., Hisoblash metodlari , Toshkent , ´qituvchi ., 1988 .
3.Fadeev D.K.,Sominskiy I.S.Sbornik zadach po visshey algebre. M.Nauka .1976
4. Gelfand I.M. Lektsii po lineynoy algebre. http://www.mcmee.ru, http://lib.mexmat. ru.
Tayanch iboralar :
Ildiz (echim) .
Oraliqni teng ikkiga bo‘lish .
Ildizlarni ajratish .
Ildizga ketma-ket yaqnlashish .
Taqribiy ildizning xatoligi .
Yaqinlashish tezligi .
Interpolyasion metod .