Kolleci ehtimal nəZƏRİYYƏSİ VƏ



Yüklə 177,64 Kb.
səhifə12/21
tarix10.05.2022
ölçüsü177,64 Kb.
#57278
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   21
Ehtimal-nəzəriyyəsi-конвертирован

Asılı olmayan hadisələr


  1. Asılı olmayan hadisələr

  2. Bir neçə hadisənin asılı olmaması



Asılı olmayan hadisələr
Hadisələrin asılı olmaması ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biridir. A və B hadisələri üçün

P(AB)=P(A) ∙ P(B) (1)

bərabərliyi ödənildikdə onlara asılı olmayan hadisələr deyilir. (1) bərabərliyini əvvəlki paraqrafda alınmış

P(AB)=P(B)∙P(A/B) (2)

və P(AB)=P(A)∙P(B/A) (3)

bərabərlikləri ilə müqayisə etsək, onda P(B)≠0 və P(A) ≠0 olduqda, uyğun olaraq

P(A/B)=P(A) (4)

və P(B/A)=P(B) (5)

bərabərlikləri alınar.

P(B)>0 olduqda (4) bərabərliyindən (1) alınır. Deməli, P(B)>0 olduqda A və B hadisələrinin asılı olması üçün (4) bərabərliyinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir. P(A)>0 olduqda isə A və B hadisələrinin asılı olmaması üçün (5) bərabərliyinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir. (4) və (5) bərabərliklərinin hər hansı birinin doğruluğundan o birinin doğruluğu çıxır. Doğrudan da, tutaq ki,



    1. bərabərliyi doğrudur. Onda

P(A)∙P(B/A)=P(B)∙P(A/B)

bərabərliyindən (5) alınar. Buradan aydın olur ki, asılı A və B hadisələri üçün P(A/B)≠P(A)

P(B/A)≠P(B)

olar. Uyuşmayan A və B hadisələri asılı hadisələrdir. Doğrudan da, bu halda A və B hadisələrinin birinin baş verməsi digərinin baş verməməsi deməkdir. Yəni,

P(A/B)=P(B/A)=0

bərabərlikləri ödənilir. Qeyd edək ki, A və B hadisələri asılı olmadıqda A və B̅, A̅ və B, A̅ və B̅ hadisələri də asılı olmur. A və B hadisələri asılı olmadıqda onların cəminin ehtimalını

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

düsturu ilə hesablamaq olar.

Istənilən sonlu sayda A1, A2, … , An hadisələrinin asılı olmamasından da danışmaq olar. Verilmiş A1, A2, … , An hadisələrinin ixtiyari biri yerdə qalan hadisələrin hər birindən və onların mümkün ola bilən istənilən hasilindən asılı olmadıqda, onlara qarşılıqlı asılı olmayan və ya sadəcə olaraq asılı olmayan hadisələr deyilir. Asılı olmayan hadisələr cüt-cüt asılı olmayandır, lakin bunun tərsi doğru deyildir.

Tutaq ki, A1, A2, … , An hadisələri asılı olmayandır. Onda tərifə görə

P(A2/A1) = P(A2), P(A3/A1A2) = P(A3),

..............................

P(An−1/A1 … An−2) = P(An−1), P(An/A1 … An−1) = P(An)

münasibətləri ödənilir. Bu halda

P(A1, A2, … , An) = P(A1)P(A2/A1) … P(A1A2 … An−1)


bərabərliyi

kimi yazılır.


P(A1, A2, … , An) = P(A1)P(A2) … P(An) (6)

Məsələ 1. Metal pul iki dəfə atılır. A ilə qerb üzünün birinci, B ilə ikinci dəfə düçməsi hadisəsini işarə edək. A B hadisələrinin asılı olmadıqlarını göstərin. Həlli. Metal pul iki dəfə atıldıqda elementar hadisələr fəzası

  GG,GR, RG, RRolar.Onda A  GG,GR; B  GG, RG; AB  GG




PA  2 1 ; PB  2 1 ; PAB  1

Deməli,


PAB  PAPB

.Beləliklə, A B

4 2 4 2 4

asılı olmayan hadisələrdir.



Məsələ 2. Bir zər atılmışdr.Aşağıdakı hadisələrə baxaq: a) A -düşən xalın üçə bölünməsi; b) düşən xalın cüt ədəd olması. A B hadisələrinin asılı olmadıqlarını göstərin.

Həlli. Məsələnin şərtinə əsasən A 3 ,6 3,6; B 2 ,4 ,6 2,4,6;

AB  6  6

1

PB  3 1 ; PAB  1 Şərti ehtimalın düsturuna görə

PA / B PAB 6 1

6 2 6

PB 1 3

2


PA 2 1 . Deməli, PA / B PA.Bu isə A B hadisələrinin asılı

6 3


olmadıqlarını göstərir.

Məsələ 3. Müstəviyə birinci üzü qırmızı, ikinci üzü yaşıl, üçüncü üzü mavi və dördüncü üzü hər üc rənglə rənglənmiş tetraedr atılır. Tetraedrin müstəviyə atılışında qırmızı üzünün düşməsi hadisəsini Q ilə, yaşıl üzünün düşməsini Y ilə və mavi üzünün düşməsini M ilə işarə edək.

Hər bir üz iki rənglə rəgləndiyi üçün



PQ PY PM = 2 1

4 2


olar.
PQY   PQM   PYM   1

4


Beləliklə, Q,Y və M hadisələri cüt-cüt asılı olmayan hadisələrdir. Ancaq bu hadisələr qarşılıqlı asılı hadisələrdir.

Belə ki,

PQYM   1 PQPY PM   1

4 8

Bir neçə hadisənin asılı olmamsı

A1, A2 ,..., An hadisələrindən istənilən ikisi asılı olmadıqda onlara cüt-cüt asılı

olmayan hadisələr deyilir.



PA A  PA PA ,i

j;i, j  1,2,..., n

i j i j


A1, A2 ,..., An hadisələri üçün

1  i j k  ... n

indekslərinin bütün mümkün

kombinasiyaları üçün 2n n 1sayda




i1
PA

i

i
A ... A

2 k

 PA

PA



...PA

, 1  i

i2

 ...ik , k  2,3,..., n , yəni



i1

i2

ik

1
PA A  PA PA ,i

j;i, j  1,2,..., n

i j i j

PA A  PA PA ;

i j i j

PA A A  PA PA PA

i j k i j k

........ ........ ........ ........ .........



PA1 A2...An   PA1 PA2 ...PAk

bərabərlikləri ödənildikdə qarşılıqlı ( birgə) asılı olmayan hadisələr adlanır.

Qeyd edək ki, cüt-cüt asılı olmayan hadisələr qarşılıqlı asılı ola bilər. Bu mənada hadisələrin qarşılıqlı asılı olmaması anlayşı cüt-cüt asılı olmamaq


anlayışından daha güclüdür.Məsələn,

hadisələr fəzasında

  1,2 ,3,4

eyniehtimallı elementar



A  1 ,2 , B  1 ,3 , C  1 ,4

hadisələri buna misal ola bilər.Doğrudan da,



PA  PB  PC  1

2

PAB  PAC  PBC  1

4

bərabərlikləri A, B və C hadisələrinin cüt-cüt asılı olmadığını,



PABC  P  1 1 PAPBPC



1 4 8

bərabərliyi isə onların qarşılıqlı asılı olduğunu göstərir.

Hadisələrin asılı olmaması haqqında aşağıdakı təklifləri söyləmək olar:

1) n sayda hadisələrin asılı olmaması, bu hadisələrdən istənilən saydasını onların tamamlayıcı hadisələri ilə əvəz etdikdə dəyişmir.


2) A1 ,..., An

asılı olmayan hadisələr olarsa, onlardan götürülən ixtiyari r r n




sayda

Ai ,..., Ai

hadisələri də asılı olmayacaqdır.





1

r
3) Asılı olmayan

A1 ,..., An

hadisələrindən heç olmasa birinin baş vermə ehtimalı


n



P Ai  1 1 PA1 ...1 PAn 

 1 

kimi hesablanılır.

Ardıcıl təkrar sınaqlar




  1. Bernulli düsturu və Bernulli teoremi.

  2. Binomial paylanma üçün asimptotik düsturlar.

  3. Muavr - Lapalasın inteqral teoreminin tətbiqləri


Bernulli düsturu və Bernulli teoremi
Tutaq ki, müəyyən şərtlər kompleksi daxilində ardıcıl sınaqlar aparılır.Əgər hər bir sınağın nəticəsi digər sınağın nəticəsinə təsir etmirsə, onda belə sınaqlara asılı olmayan sınaqlar deyilir. Aparılan asılı olmayan hər sınağın nəticəsi “uğurlu” və ya “uğursuz” ola bilər, yəni gözlənilən təsadüfiü A hadisəsi baş verə, yaxud baş verməyə bilər.Asılı olmayan sınağın iki nəticəsindən birinin baş verməsi halına Y.Bernulli baxmışdır və onu Bernulli sxemi adlandırırlar. Tərif. Eyni bir sınağın təkrarından ibarət sınaqlar aşağıdakı iki şərti ödədikdə, Bernulli sınaqları adlanır:

    1. sınaqlar asılı olmayandırlar;

    2. hər bir sınağın yalnız iki nəticəsi vardır və bu nəticələrin ehtimalı bütün sınaqlar üçün eynidir;

    3. Bernulli sınağının nəticələrindən birini şərti olaraq “+”, digərini isə “-“adlandıraq.

Tutaq ki, n sayda asılı olmayan sınaq aparılır və hər bir sınaqda A hadisəsinin baş verməsi ehtimalı sabit p ədədinə, baş verməməsi ehtimalı isə

q=1-p ədədinə bərabərdir.i-ci sınağın nəticəsini

Bi , i  1,2,..., n

ilə işarə edək.Bu




ardıcıllığın m hissəsində A hadisəsi, qalan n-m hissəsində isə A olarsa, belə

C

n
ardcıllıqların sayı m olar. Sınaqlar asılı olmadıqlarından onların nəticələri –
hadisələr də asılı deyillər və ehtimalların vurulması qaydasına görə belə

ardıcıllığın ehtimalı pmqnm ədədinə bərabər olar.Onda uyuşmayan (birgə
olmayan) hadisələrin ehtimalları haqqında qaydaya görə m-qədər A-dan və n-

m qədər A -dən ibarət ardıcıllıqların ehtimalları cəmi

p m  Cm pmqnm

olar.




n

n
Aparılan n Bernulli sınağında “+” nəticənin baş vermə sayını edək.Beləliklə aşağıdakı nəticəyə gəlirik:

sn ilə işarə

Bernulli düsturu. Tutaq ki, aparılan n Bernulli sınağında müsbət
nəticənin başvermə sayı sn -dir. Hər sınaqda müsbət nəticənin baş vermə
ehtimalı isə p- dir.Bu halda

pn m 

Psn

m  Cm pmqnm q  1  p, m  0,1,2,..., n




n
pn m

ehtimallarına binomial paylanma deyilir.Bu paylanma m=0,1,..., n





n
ədədləri ilə p m-lər arasında uyğunluq şəklində verilir. (1) ehtimalı  px qn
binomunun ayrılışında xk -nın əmsalına bərabər olduğuna görə, ona binomial

ehtimal deyilirlər.Binomial ehtimalların çoxluğu binomial paylanma, n və p sabitləri isə onun parametrləri adlanır.



Məsələ 1.Hər 100 yeni doğulan uşaqdan orta hesabla 51-i oğlan, 49-u isə qız olur.Bir ailədə 3 uşaq var.Onlardan heç olmasa ikisinin oğlan olma ehtimalını tapın.

Həlli. Bu məsələdə, n=3, p=0.51, q=0.49 – dur.Bernulli düsturuna əsasən



axtarılan ehtimal

PS  2  p 2 p 3  3p2q p3  30.512 0.49 0.513  0.515



n 3 3
olacaqdır.Deməli, 3 uşaqlı 100 ailədən orta hesabla 515-də heç olmasa iki oğlan olacaqdır.

Binomial paylanmanın xassələri:


1) pn m  0,


pn m  1

m0

Bu münasibətin doğruluğunu iki mülahizədən almaq olar.Birincisi, n ardıcıl asılı olmayan sınaqlar zamanı hadisələr ardıcıllıqları tam sistem təşkil



edir və onlardan hər hansının baş verməsi yəqin hadisədir.İkincisi, axırıncı münasibətin doğruluğu

n n


n
1n  p qn Cm pmqnm pm

m0
binomunun açılışından alınır.

m0

2) pn m ehtimalı m-dən asılı funksiya kimi özünün ən büyük qiymətini (n+1)p
ədədi kəsr olduqda (n+1)p ədədinin tam qiymətində, tam ədəd olduqda isə m=(n+1)p və m=(n+1)p-1 qiymətlərində alır.

Tərif.


pn m ehtimal özünün ən böyük qiymətini m m0

qiymətində alarsa,



onda m0

ədədi binomial paylanmanın modası,



pn m0

isə maksimal ehtimal


adlanır.


Məsələ 2 . 729 tələbəsi olan fakultədə nə qədər tələbənin yanvarın birində anadan olması ehtimalı ən böyükdür.

Həlli. (702; 1/365) parametrli binomial paylanmadan istifadə edə bilərik. (n+1)p=(729+1)*1/365=2

olduğuna görə, ən böyük ehtimallı ədəd 2 və 1, maksimal ehtimal isə


   

21

2  364 727






p729 2

p729 1



C729 365

365

olacaqdır.

   


4)n sayda Bernulli sınaqlarında müsbət nəticənin r-dən az syda baş


verməsiehtimalını


Bn r   pn m kimi hesablamaq olar.

m0


Binomial paylanma üçün asimptotik düsturlar


Ehtimal nəzəriyyəsində

pn m ehtimalı üçün müxtəlif asimptotik düsturlar

verilmişdir.Burada Puasson və Muavr-Laplas düsturları ilə tanış olacayıq.


Puasson teormi.


n  , np Ck pk

qnk

k



k!

e

Bu münasibət hər bir k-




n
ya görə müntəzəm ödənilir. İsbatı. Bu münasibət aşağıdakı bərabərliklərdən alınır:


k k nk

nn 1...n k 1npk nk




Cn p q nk

 1  p



k!

nn 1...n k 1 1 1 1 ...1 k 1 1


n

n
nk

nk

  

  

n





1 np




Lim1  p



npk

Lim

k!

Lim1  p



k


k!

Lim1  pp e



Teoremə əsasən n kifayət qədər böyük, p isə kifayət qədər kiçik olduqda

npk

np



pn k k! e

asimptotik bərabərliyi doğrudur. Bu düsturdan adətən




p  0.1, npq  9

olduqda istifadə edilir.


n-in kifayət qədər böyük qiymətlərində Bernulli düsturundan istifadə




n

n
texniki cəhətdən çətinlik yaradır.Laplasın lokal teoremi p m  Cm pmqnm
ehtimalları hesablamaq üçün asimptotik yaxınlaşma düsturudur.(

lim x  1, x  

f x

olduqda, deyirlər ki, f(x)

x-n asimptotik yaxınlaşmasıdır).

Qeyd edək ki, xüsusi halda p=1/2 üçün asimptotik düstur 1730-cu ildə Muavr tərəfindən alınmışdır.1783 cü ildə isə Laplas bu düsturu istənilən 0  p  1 üçün isbat etmişdir.



Teorem. Əgər asılı oımayan sınaqlar zamanı müsbət nəticənin baş veməsi ehtimalı, p sabitdirsə, onda

Lim

npqpn

m



1 x2




2
e

2




doğrudur, burada x  və x müəyyən sonlu parçada dəyişdikdə bütün
k=0,1,...,n qiymətlərində yığılma müntəzəmdir.

Teoremə əsasən aparılan n sınaqda hadisənin m dəfə baş verməsi ehtimalı təqribən

1

   



1 x2


pn m



npq

x , x

e 2



2


bərabərliyi ilə təyin edilir.

x -in müsbət qiymətləri üçün
x funksiyasının qiymətləri cədvəli işlənib

hazırlanmışdır.

x

tək funksiya olduğu üçün x -in mənfi qiymətləri üçün də

həmin cədvəldən istifadə etmək olar.



Məsələ 3. Qeyri standart detalın hazırlanması ehtimalı 0.004-dür.1000 detaldan beşinin qeyri standart olması hadisəsinin ehtimalını təyin edin.

Həlli.Bu məsələdə,

n  1000, p  0.004,np  1000 0.004  4

Puasson düsturuna əsasən




p1000 5 

45  4


e
5!

 0.1563


İndi isə bu ehtimalı Muavr-Laplas düsturuna əsasən hesablayaq:


x  

1

1.9960

 0.501

Muavr-Laplas düsturuna əsasən axtarılan ehtimalın təqribi qiyməti




p1000

5  f 0.501

1


1.9960

0.3519  0.1763



1.9960

Bu ehtimalın Bernulli düsturuna əsasən tapılmış dəqiq qiyməti isə




1000
olar.

p1000

5  C5

 0.004  0.996 995  0.1552



Beləliklə,

p1000 5

ehtimalının Muavr-Laplasın təqribi düsturuna əsasən




hesablanmış nisbi xətası

0.1763  0.1552 0.136

0 /1552


və ya 13.6%, Puasson düsturuna

əsasən isə

0.1563 0.1552  0.007və ya 0.7% təşkil edir.

0.1552


Aparılan n sayda Bernulli sınağında “ müsbət” nəticənin baş vermə sayının müəyyən parçada yerləşməsi ehtimalını hesablamaq üçün asimptotik düsturu Muavr – Laplasın inteqral troremindən almaq olar.

Teorem.





s np

1 b x2


P a n b

e 2

 

  a
münasibəti müntəzəm ödənilir.
1 x u 2

x  e u du

20
funksiyasına Laplas funksiyası deyilir.

Laplas funksiyasının müsbət x-lər üçün qiymətləri cədvəli işlənib hazırlanmışdır.Bu funksiya tək funksiyadır, yəni

x  x


şərti ödənilir.Bu isə o deməkdir ki,

x

funksiyasının mənfi x-lər üçün

qiymətlərini axırıncı düsturun köməyi ilə hesablamaq olar.



Cədvəldə

x

funksiyasının qiymətləri

x  5

üçün verilmişdir.



x  5

olduqda

x  0.5

qəbul ertmək olar.


Laplas funksiyasının qiymətləri cədvəlindən istifadə etmək üçün




s np

1 b x2


P a n b

e 2

münasibətini aşağıdakı kimi yazaq:



 

  a


s np

1 0 x2


1 b x2


1 b x2


1 a x2


P a n b e 2 dx e 2 dx e 2 dx e 2 dx  b  a

 

a 0 0 0


Qeyd edək ki, m

m m

hadisəsi

m1 np m np m2 np hadisəsi ilə




1 2  


eynigüclü hadisədir.Ona görə də asılı olmayan n sınaqda hadisənin ən azı m1 ,



ən çoxu isə m2

dəfə başverməsi ehtimalınl təqribən



pn m1 , m2   x2  x1

bərabərliyi ilə hesablamaq olar.




1
Burada

  1. m1 np , x .



2
Məsələ 4. Sığorta şirkətində 10000 abtomobil sığorta edilmişdir.Qəza nəticəsində istənilən avtomobilin sıradan cıxma ehtimalı 0.006-dır.Sığorta edilmiş hər bir avtomobilin sahibi ildə 12 manat sığota haqqı ödəyir və avtomobilin sıradan cıxması nəticəsində çirkətdən 1000 manat alır.İlin sonunda a) şirkətin bankrot olması hadisəsinin, b) ən azı 40000 manat mənfəət əldə etməsi ehtimalını təyin edin.

Həlli. a) Tutaq ki, il ərzində n sayda avtomobil qəza nəticəsində sıradan cıxmışdır.Şirkətin bankrot olması üçün onun avtomobil sahiblərinə ödədiyi məbləğ il ərzində ödənilmiş sığorta haqqından cox olmalıdır.Bu isə o deməkdir ki,

10000 n  10000  n12

bərabərsizliyi ödənilməlidir.Bu bərabərsizliyi n-ə görə həll etsək və n-in tam



ədəd olduğunu nəzərə alsaq

n  119

olduğunu alarıq.



Beləliklə, şirkətin bankrot olması üçün il ərzində ən azı 120 avtomobil qəza nəticəsində sıradan çıxmalıdır.Bu isə il ərzində 120, yaxud 121,..., yaxud da 10000 avtomobilin sıradan cıxması deməkdir.Beləliklə, baxılan halda

n  10000 , p  0.006, q  0.994, k1  120, k2  10000
n  10000 , p  0.006, q  0.994, k1  13, k2  10000 qəbul etmək lazımdır.


x1

 7.769




2
x 10000 10000  0.006

1287.116



Bu halda axtarılan ehtimal

x2  x1   1287 .116  7.769   0.5  0.5  0

b) Sığorta şirkətinin il ərzində 40000 manat mənfəət əldə etməsi üçün

10000  n12 1000 n  40000


bərabərsizliyi ödənilməlidir.Buradan isə

n  79

olduğunu alırıq.






x1
x2

 2.460
 1287.1162




Bu halda

x2  x1 = 1287 .1162  2.460   0.5  0.4931  0.069

ədədi ən azı


79 avtomobilin sıradan çıxması hadisəsinin ehtimalıdır. Ən çoxu 78 avtomobil sıradan şıxdıqda şirkət ən azı 40000 manat mənfəət əldə edər. Bu hadisələr

qarşılıqlı hadisələr olduğu üçün axtarılan ehtimal 1 0.069  0.931 olar.


Yüklə 177,64 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   21




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin