Kolleci ehtimal nəZƏRİYYƏSİ VƏ

Çebışev bərabərsizliyi

Tutaq ki, X təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi m_x = M^[X^] və dispersiyası D_x = D^[X^] ilə işarə edilmişdir.

Teorem. Sonlu dispersiyası olan X təsadüfi kəmiyyəti ixtiyari ε > 0

ədədi üçün

bərabərsizliyi ödəyir.

P^(|X − m_x

^| ≥ ε⁾ ≤ D[X]

_ε2
(1)

Doğrudan da, tutaq ki, X kəsilməz təsadüfi kəmiyyətdir və onun sıxlıq funksiyası P(x)-dır. Onda

2
münasibətinə əsasən

P^(|X − m_x^| ≥ ε⁾ =

_ Pxdx

x m_x 

D^[X^] = M^[(X − m

^)2] =



 ²  

^{   } ε²   =

_{x } x  m_x



P x dx 

_ x

x  m_x 

m_x P x dx

_ P x dx

x m_x 

və ya

ε²P^(|X − m_x^| ≥ ε⁾
D^[X^] ≥ ε²P^(|X − m_x^| ≥ ε⁾

olar. Buradan (1) bərabərsizliyi alınır.

Diskret təsadüfi kəmiyyətlər üçün (1) bərabərsizliyini isbatı eyni qayda ilə aparılır.

(1) bərabərsizliyi Çebışev bərabərsizliyi adlanır. Onu

P^(|X − m_x^| ≥ ε⁾ + P^(|X − m_x^| < 𝜀⁾ = 1

bərabərliyinə əsasən,

_ε2
kimi də yazmaq olar.

P^(|X − m_x^| < 𝜀⁾ ≥ 1 − ^D[X]

(2)

Böyük ədədlər qanunu

Tutaq ki, sonlu riyazi gözləməsi olan X₁, X₂, … , X_n,...(1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı verilmişdir. (1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı istənilən ε > 0 ədədi üçün

və ya
lim

n→∞

lim

n→∞

n

1 1

k
P (| ∑ X −

n n

k=1

n

1 1

k
P (| ∑ X −

n n

k=1

n

∑ M^[X_k

k=1

n

∑ M^[X_k

k=1

^]| < 𝜀) = 1 (2)


^]| < 𝜀) = 0 (3)

münasibətini ödədikdə, yəni (1) kəmiyyətlərinin

n


X^̅̅̅ = 1 ∑ X (4)

n _n k

k=1

ədədi ortası onların riyazi gözləmələrinin

n

k
1 ∑ M^[X

n

k=1

^] (5)

ortasına ehtimala görə yığıldıqda, deyirlər ki, (1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı üçün böyük ədədlər qanunu ödənilir.

Teorem (Markov). Əgər (1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı

n


lim 1 D [∑ X ] = 0 ⁽6⁾

n→∞ _n²

k

k=1

şərtini ödəyirsə, onda həmin ardıcıllıq üçün böyük ədədlər qanunu, yəni (2) münasibəti ödənilir.

Markov teoremindən aşağıdakı nəticə alınır:

Nəticə1. Cüt-cüt asılı olmayan X₁, X₂, … , X_n,... təsadüfi kəmiyyətləri

lim

n

1 ∑ D^[X

^] = 0 ⁽7⁾

n→∞ _n²

k

k=1

(7) şərtini ödədikdə, (1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı üçün böyük ədədlər qanunu ödənilir.

Nəticə 2. Cüt-cüt asılı olmayan X₁, X₂, … , X_n,... təsadüfi kəmiyyətlərinin dispersiyaları D^[X_k^] ≤ C, k = 1,2, … (8) şərtini ödədikdə, (1) təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı üçün böyük ədədlər qanunu ödənilir.

Nəticə 3. Cüt-cüt asılı olmayan eyni cür paylanmış və sonlu dispersiyaları olan 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛,... təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığı istənilən

𝜀 > 0 ədədi üçün

𝑙𝑖𝑚 𝑃 (|1

^𝑛→∞ 𝑛

𝑛

∑ 𝑋_𝑘 − 𝑎| < 𝜀) = 1 (9)

𝑘=1

münasibətini ödəyir, yəni həmin kəmiyyətlər ardıcıllığı üçün böyük ədədlər qanunu ödənilir.

Nəticə 4. Tutaq ki, asılı olmayan n sınaq nəticəsində A hadisəsinin baş verməsinin sayı 𝜇_𝑛 və hər bir sınaqda A hadisəsinin baş verməsi ehtimalı p⁽0 < 𝑝 < 1⁾ ədədidir. Onda ixtiyari 𝜀 > 0 ədədi üçün

𝑙𝑖𝑚 𝑃 (|𝜇^𝑛 − 𝑝| < 𝜀) = 1 (10)



^𝑛→∞ 𝑛

bərabərliyi doğrudur. Nəticə 5. Tutaq ki, asılı olmayan n sınaq aparılır və k-cı sınaqda A hadisəsinin başverməsi ehtimalı 𝑃_𝑘 −dır. Onda həmin hadisənin başvermə tezliyi 𝑛 → ∞ şərtində ehtimala görə 𝑃_𝑘 ədədlərinin ədədi ortasına yığılır, yəni istənilən 𝜀 > 0 ədədi üçün

𝑙𝑖𝑚 𝑃 (|𝜇

𝑛

1

− ∑ 𝑃_𝑘| < 𝜀) = 1


(11)

𝑛→∞
bərabərliyi doğrudur.

𝑛 𝑛

𝑘=1

Xarakteristik funksiyalar və onların xassələri

Xarakteristik funksiyalar üsulunun əsasını kompleks qiymətli təsadüfi kəmiyyət, onun riyazi gözləməsi və xarakteristik funksiya anlayışları təşkil edir.

ξ və η həqiqi təsadüfi kəmiyyətlər olduqda

X= ξ + iη, i² = −1

ifadəsi kompleks qiymətli təsadüfi kəmiyyət və

M^[X^] = M^[ξ^] + i²M^[η^]

onun riyazi gözləməsi adlanır.

ξ həqiqi təsadüfi kəmiyyət olduqda

φ⁽t⁾ = φ_ξ⁽t⁾ = M[e^itξ] , − ∞ < t < ∞ (1)

funksiyasına onun xarakteristik funksiyası deyilir.

Xarakteristik funksiyaların bir sıra xassələri vardır:

Teorem 1. Istənilən ξ təsadüfi kəmiyyətinin φ⁽t⁾ = φ_ξ⁽t⁾ xarakteristik funksiyası bütün ədəd oxunda təyin olunmuşdur və aşağıdakı xassələri vardır:

1. 
   φ⁽0⁾ = 1 ödənilir.
   
2. 
   ^|φ⁽t^)| ≤ 1 (−∞ < t < ∞) bərabərsizliyi ödənilir.
   
3. 
   a və b sabit ədəd olduqda η = aξ + b təsadüfi kəmiyyətinin xarakteristik funksiyası
   

olar.

φ_η⁽t⁾ = e^itbφ_ξ⁽at⁾

Teorem 2. Asılı olmayan ξ və η təsadüfi kəmiyyətləri cəminin xarakteristik funksiyası, onların xarakteristik funksiyaları hasilinə bərabərdir, yəni

münasibəti doğrudur.

φ_ξ+η⁽t⁾ = φ_ξ⁽t⁾φ_η⁽t⁾ (2)

Nəticə 1. Asılı olmayan ξ₁, ξ₂, … , ξ_n təsadüfi kəmiyyətlərinin S_n = ξ₁ + ξ₂ + ⋯ + ξ_n cəminin xarakteristik funksiyası

φ_Sn⁽t⁾ = φ_ξ1 ⁽t⁾ ∙ φ_ξ2 ⁽t⁾ ∙ … ∙ φ_ξn⁽t⁾ (3)

münasibətini ödəyir.

Nəticə 2. Asılı olmayan və eyni φ xarakteristik funksiyası olan

ξ₁, ξ₂, … , ξ_n təsadüfi kəmiyyətlərinin S_n cəminin xarakteristik funksiyası

φ_Sn⁽t⁾ = ^[φ(t)^]n

bərabərliyi ilə hesablanır.

Teorem 3. Xarakteristik funksiyalar çoxluğu ilə paylanma funksiyaları çoxluğu arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq vardır.

Nəticə 3. Tutaq ki, F₁və F₂ paylanma funksiyaları, φ₁və φ₂ isə onlara uyğun olan xarakteristik funksiyadır. Onda φ₁(t) ≡ φ₂(t) eyniliyi F₁⁽x⁾ = F₂ (x) bərabərliyinə ekvivalentdir.

Mərkəzi limit teoremləri

Ehtimal nəzəriyyəsinin mərkəzi limit teoremləri dedikdə, təsadüfi kəmiyyətlər ardıcıllığının müəyyən şərtlər daxilində normal təsadüfi kəmiyyətə yığılması haqqında olan teoremlər nəzərdə tutulur. Muavr-Laplasın inteqral teoremi ilk dəfə isbat edilmiş mərkəzi limit teoremidir. Tutaq ki, asılı olmayan n ardıcıl sınaq aparılır və hər sınaqda A hadisəsinin baş verməsi

ehtimalı eyni sabit p ədədidir. Əgər k-cı sınaqda A hadisəsinin baş verməsi sayı 𝑋_𝑘 ilə işarə edilsə, onda aparılan bütün n sınaq nəticəsində A hadisəsinin baş verməsinin 𝛾_𝑛 sayı 𝛾_𝑛 = 𝑋₁ + 𝑋₂ + ⋯ + 𝑋_𝑛 kimi göstərilir. Təsadüfi 𝛾_𝑛 kəmiyyətinin riyazi gözləməsi və dispersiyası hesablanmışdır: 𝑀^[𝛾_𝑛^] = 𝑛𝑝,

𝐷^[𝛾_𝑛^] = 𝑛𝑝𝑞. Bu kəmiyyətlərdən istifadə edərək, Muavr-Laplasın inteqral teoremini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

𝛾_𝑛 − 𝑀^[𝛾_𝑛^]

𝑥₂

1

_−𝑡2

lim

𝑛→∞

(𝑥₁ ≤

√𝐷^[𝛾_𝑛^]

≤ 𝑥₂) = ∫ 𝑒

√^2𝜋

𝑥

² 𝑑𝑡 (1)

Burada

𝛾_∗ = 𝛾_𝑛 − 𝑀^[𝛾_𝑛^] =

𝑛

∑
𝑘=1

1


𝑘=1
𝑋_𝑘 − 𝑀^[∑𝑛

𝑋_𝑘^]

(2)

[

]
𝑛


𝑘=1
√𝐷 𝛾<sub>𝑛

√</sub>𝐷[∑^𝑛

𝑋_𝑘^]

ifadəsinə 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛 təsadüfi kəmiyyətlərinin n-tərtibli normallaşmış cəmi deyilir. Bu normallaşmış cəm vasitəsilə (1) bərabərliyi


−
𝑥₂

𝑛→∞ ^𝑛
lim ⁽𝑥₁ ≤ 𝛾^∗

≤ 𝑥 ⁾ = 1 ∫ 𝑒

₂
√^2𝜋

_𝑡2

2

𝑑𝑡 (3)

𝑥₁

kimi yazılır. Verilmiş ixtiyari 𝜉_𝑘⁽𝑘 = 1,2, … ⁾ təsadüfi kəmiyyətlərinin də normallaşmış cəmlərinə baxmaq olar. Tutaq ki, təsadüfi kəmiyyətlərinin sonlu riyazi gözləməsi və dispersiyası vardır. Onda

𝑛

𝑆_𝑛 = ∑ 𝜉_𝑘


𝑘=1
𝑘=1

cəmləri vasitəsi ilə düzəlmiş



𝑆_∗ = 𝑆_𝑛 − 𝑀^[𝑆_𝑛^] =

𝑛

∑
𝑘=1
𝜉_𝑘 − 𝑀^[∑𝑛
𝜉_𝑘^]

(4)

[

]
𝑛

√𝐷 𝑆_𝑛

_√𝐷[∑^𝑛

𝜉_𝑘^]

𝑘=1
ifadəsinə həmin təsadüfi kəmiyyətlərin n-tərtibli normallaşmış cəmi deyilir. Verilmiş 𝜉_𝑘 təsadüfi kəmiyyətlərinin (4) normallaşmış cəmi istənilən

𝑥₁ 𝑣ə 𝑥₂ (𝑥₁ ≤ 𝑥₂) ədədləri üçün

𝑥<sub>2

∗</sub> 1



_−𝑡2

1 𝑛
lim ⁽𝑥 ≤ 𝑆

𝑛→∞

≤ 𝑥₂⁾ = ∫ 𝑒

√^2𝜋

² 𝑑𝑡 (5)

𝑥₁

bərabərliyini ödədikdə, deyirlər ki, həmin təsadüfi kəmiyyətlər üçün mərkəzi limit teoremi ödənilir.

Çebışev teoremi. Tutaq ki, 𝜉₁, 𝜉₂, … asılı olmayan, eyni paylanma funksiyasına malik və sonlu dispersiyası olan təsadüfi kəmiyyətdir. Onda həmin kəmiyyətlər üçün mərkəzi limit teoremi ödənilir, yəni a=M^[𝜉_𝑘^] və 𝜎² =

𝑆_𝑛−𝑛𝑎

1 𝑥₂

_−𝑡2

𝑘 1
M^[𝜉 ^] olduqda lim 𝑃 (𝑥 ≤

𝑛→∞

münasibəti doğrudur.

^𝜎√^{𝑛 ≤ 𝑥2) =} √^{2𝜋 ∫𝑥}1 <sup>𝑒

2</sup> 𝑑𝑡 (6)

Lyapunov teoremi. Tutaq ki, 𝜉₁, 𝜉₂, … asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətdir və elə 𝛿 > 0 ədədi vardır ki,

𝑀[^|𝜉_𝑘 − 𝑀^[𝜉_𝑘^]|2+𝛿] < ∞, 𝑘 = 1,2, … ⁽7⁾ münasibəti ödənilir. Bu halda,

𝑛


𝐽 ⁽𝛿⁾ = 1 ∑ 𝑀[^|𝜉 − 𝑀^[𝜉 ^]|2+𝛿] → 0 ⁽𝑛 → ∞⁾ (8)

^𝑛 2+𝛿

√𝐷^[𝑆_𝑛^]

𝑘 𝑘

𝑘=1

şərti ödənildikdə, həmin 𝜉_𝑘⁽𝑘 = 1,2, … ⁾ təsadüfi kəmiyyətləri üçün mərkəzi limit teoremi doğrudur.

Riyazi statistikanın elementləri

1. 
   Riyazi statistikanın elementləri
   
2. 
   Baş yığım və seçmə anlayışı
   
3. 
   Empirik paylanma funksiyası
   
4. 
   Seçmənin ədədi xarakteristikası
   
5. 
   Seçmənin yerləşmə xarakteristikası
   

Riyazi statistikanın elementləri

Цмумиййятля гейд етмяк олар ки, рийази статистикa мясяляляри, ещтимал нязяриййяси иля бир вахтда йаранараг инкишаф етмяйя башламышдыр. Бу нязяриййянин йараныб вя инкишаф етдирилмясиндя бир чох алимлярин бюйцк хидмятляри олмушдур. О ъцмлядян, рус рийазиййатчылары олан П.Л.Чебишевин, К.Гаусун, А.А.Марковун, К.Пирсонун вя башга алимлярин рийази статистиканын инкишафында бюйцк ролу олмушдур. Сон заманлар ися бу елмин инкишафында Азярбайъан рийазиййатчылары да бюйцк ишляр эюрмяйя башлайыблар. Бунлара Я.Мяммядов, Тамелла Нясирова, Я.Шащбазов вя с. алимляри эюстярмяк олар. Статистика елми, апарылан мцшащидялярин нятиъялярини тящлил етмякля мяшьул олан бир елмдир.

Статистика латын сюзц олуб «Статус» сюзцндян эютцрцляряк мянасы vязиййят, щал демякдир. Рийази статистика статистик мялуматларын топланмасы, топланылмыш мялуматларын статистик тящлил едилмяси, статистик мцшащидялярин апарылмасы вя мялуматларын тящлили цсулларыны юйрянян рийази елмдир.

Ейни заманда рийази статистика, мцхтялиф мясяляляри, статистик мялуматларын топланма вя груплашдырма, намялум пайланма функсийасыны вя пайланма параметрляринин гиймятляндирилмясини, бир тясадцфи кямиййятин башга тясадцфи

кямиййятлярдян асылылыьынын гиймятляндирилмясини эюстярян бир елмдир. Демяли, кцтляви тясадцфи щадисяляр, цзяриндя апарылан мцшащидялярин нятиъясини гейд етмяк онлары груплашдырмаг вя анализ етмяк цсуллары рийази статистика елминдя мцяййян едилир.

Статистик рягямлярин илкин ишляниб нятиъя чыхарыла билян вязиййятя эятирилмясиня статистик мялумат дейилир. Бир-бириндян фярглянян ейни кейфиййят эюстяриъиляринин бир йеря топланмасына статистик йыьым kьlliyatı дейилир. Мясялян, мцяййян бир цlkədə eyni vaxtda doğulmuş uşaqlar статистик йыьымдыр.

Тяриф. Шяхси мцшащидяляр ясасында топланан йыьыма емприк статистик йыьым; нязяри мцбащизяляр ясасында йарадылан йыьыма ися нязяри статистик йыьым дейилир.

Тяриф. Статистик йыьымларын щяр бир елементиня (цзвцня) айрылыгда вариант дейилир. Вариантларын сайына ися статистик йыьымын щяъми дейилир. Цмумиййятля ейни нювлц обйектлярин йыьымыны кейфиййят вя кямиййят эюстяриъиляриня эюря юйрянилир. Гейд едяк ки, деталын кейфиййят эюстяриъиси онун стандартлыьы, кямиййят эюстяриъиси ися деталын юлчцсцдцр. Демяли, анализ апармагла, щяр щансы просеси юйрянмяк олар. Бурада обйектляр йыьымынын щяр бири айрыъа анализ олунур. Яэяр бахылан обйектлярин сайы чох олса, онда обйектлярин щяр бирини айрыъа анализ етмяк олмаз. Она эюря дя башга цсуллардан истифадя етмяк лазымдыр. Чцнки обйектлярин сайы чох олдуьу щалда онлары бир-бир анализ етмяк, мясяляни чятинляшдирир. Она эюря дя сечмя цсулундан истифадя олунур, йяни хцсуси йыьымлара бахылыр.
Baş yığım və seçmə anlayışı
Tutaq ki, sonlu və ya sonsuz sayda eyni növ obyektlər çoxluğuna baxılır və bu çoxluğu təşkil edən elementlərin müəyyən əlaməti ödəməsi tədqiq edilir. Baxılan əlamət təsadüfi kəmiyyətdir və onun qiyməti bir

elementdən başqasına keçdikdə dəyişir. Müşahidə və ya tədqiq olunan çoxluq baş yığım və ondan təsadüfi şəkildə seçilən kiçik həcmli çoxluq (elementlər yığımı) isə təsadüfi seçmə və ya qısaca seçmə adlanır. Yığımı təşkil edən elementlərin sayına onun həcmi deyilir. Tutaq ki, paylanma funksiyası F(x) olan X təsadüfi kəmiyyəti müəyyən sınaqlar nəticəsində x qiymətlərini ala bilir. Bu halda, paylanma funksiyası F(x) olan X təsadüfi kəmiyyəti əvəzinə, “x qiymətlərinin baş yığımı” işlədilir. X təsadüfi kəmiyyəti nəticəsində x qiymətini alır əvəzinə “baş yığımın x qiymətlərinin təsadüfi birinin seçilməsi” işlədilir. Aparılan n asılı olmayan sınaq nəticəsində X kəmiyyətinin aldığı x₁, x₂, … , x_n qiymətləri yığım adlanır, n ədədi bu yığımın həcmidir. Riyazi statistikanın əsas məsələsi baş yığımdan təsadüfi ayrılan x₁, x₂, … , x_n seçmə yığımın xassələrinə əsasən baş yığımın uyğun xassələri haqqında düzgün elmi nəticələr almaqdır. Seçmə yığım müxtəlif üsullarla düzəldilə bilər. Tutaq ki, baş yığımın elemrntlərindən biri təsadüfi seçilir, tədqiq edilir və yenidən baş yığıma qaytarılır. Bu prosesi n dəfə təkrar etdikdə, həcmi n olan təkrarlı seçmə yığım alınar. Baş yığımın təsadüfi seçilən elementləri yenidən baş yığıma qaytarılmadıqda isə təkrarsız seçmə yığım alınır. Praktikada əsasən təkrarsız seçmədən istifadə olunur. Bunun səbəbi odur ki, təkrarsız seçmədə daha çox element müşahidə olunur və alınan nəticələr baş yığımın uyğun xassələrini daha düzgün ifadə edir.

Empirik paylanma funksiyası

Tutaq ki, paylanma funksiyası F(x) olan baş yığımdan x₁, x₂, … , x_n təsadüfi seçmə yığım ayrılmışdır. Seçilən bu x_k qiymətlərinə variantlar, həmin qiymətlərin artan ardıcıllıq şəklində

x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤ ⋯ ≤ x_(n) (1)

yazılışına isə variasiya sırası deyilir:

x₍₁₎ = min^{x₁, x₂, … , x_n^} , x_(n) = max^{x₁, x₂, … , x_n^}

Seçmənin əsas xarakteristikalarından biri onun paylanmasıdır. Tutaq ki,

n
seçməni təşkil edən x₁, x₂, … , x_n qiymətlərini eyni ¹

ehtimalı ilə ala bilən

köməkçi diskret təsadüfi kəmiyyət X^∗ ilə işarə edilmişdir:

P_k = P⁽X^∗ = x_k⁾

1

= _n , k = 1,2, … , n

Diskret təsadüfi X^∗ kəmiyyətinin paylanmasına x₁, x₂, … , x_n seçmənin paylanması deyilir. Təsadüfi seçməni təşkil edən x₁, x₂, … , x_n ədədlərinin x- dən kiçik olanlarının sayını μ_x(x) ilə işarə etsək, onda

P⁽X^∗ < 𝑥⁾ = μⁿ(x)

n

(2)

olar. Bu ifadəyə seçmənin paylanma funksiyası və ya empirik paylanma


n
funksiyası deyilir və F^∗ (x) ilə işarə edilir:

F^{∗ (}x⁾ = μⁿ(x)

(3)

n _n
(3) empirik paylanma funksiyasının baş yığımın F(x) paylanma funksiyasının xassələrinə oxşar xassələri vardır:

• 
  azalmayandır;
  
• 
  qiymətləri ^[0,1^] parçasında yerləşir;
  

• 
  
  n
  F^∗ (x
  

(1)

)=0, F^{∗ (}x⁾ = 1 (X> x
(n)

) bərabərliklərini ödəyir.

n

n
Bununla belə, F^{∗ (}x⁾ funksiyası ^{x < 𝑥^} hadisəsinin ehtimalını yox, onun təsadüfi seçmədə başvermə tezliyini göstərir.


n

n
Bernulli teoreminə görə n → ∞ şərtində seçmənin F^{∗ (}x⁾ empirik paylanma funksiyası ehtimala görə baş yığımın F(x) paylanma funksiyasına yığılır, yəni istənilən x(−∞ < 𝑥 < ∞) və ε > 0 ədədləri üçün

lim

n→∞

P^(|F^{∗ (}x⁾ − F(x)^| < 𝜀⁾ = 1 (4)

n
münasibəti ödənilir. Bu göstərir ki, seçmənin F^{∗ (}x⁾ empirik paylanma funksiyasını baş yığımın F(x) paylanma funksiyasının təqribi qiyməti kimi götürmək olar.

Seçmənin ədədi xarakteristikaları

Tutaq ki, paylanma funksiyası F(x) olan baş yığımdan x₁, x₂, … , x_n

təsadüfi seçmə yığım ayrılmışdır. Bu seçməni təşkil edən x₁, x₂, … , x_n
qiymətlərini eyni ¹ ehtimalı ilə ala bilən köməkçi diskret təsadüfi kəmiyyət X^∗ n

kəmiyyətinin ədədi xarakteristikalarına seçmənin ədədi xarakteristikaları deyilir. Burada nəzərə almaq lazımdır ki,

P_k = P⁽X^∗ = x_k

⁾ = 1

n

və xüsusi halda, seçmənin daxilindəki x_k qiyməti m dəfə təkrar olunduqda

P_k = P⁽X^∗ = x_k

⁾ = m

n

olar. Diskret təsadüfi X^∗ kəmiyyətinin riyazi gözləməsi

n

M^[X^∗] = ∑ p_kx_k

k=1

n

1

= _n ∑ x_k

k=1
(1)

kimi təyin olunur. (1) ifadəsinə seçmənin riyazi gözləməsi (orta qiyməti)

deyilir və x̅ ilə işarə edilir:

n

1

x̅ = _n ∑ x_k (2)

k=1

X^∗ kəmiyyətinin dispersiyasına seçmənin dispersiyası deyilir və S² ilə işarə edilir:

n


² [ ^∗] (
1

S = D X = _n ∑ x_k

k=1
− x̅⁾²

(3)

Baş yığımın N həcmi kifayət qədər böyük olduqda seçmə yığımın paylanması və xarakteristikaları əslində N-dən asılı olmur. Buna görə də, baş yığımın həcmini çox zaman sonsuz hesab edirlər. seçmə yığımın həcmi isə həmişə məhdud götürülür. Lakin seçmə yığımın n həcmi qeyri-məhdud artdıqda onun xarakteristik ədədləri baş yığımın uyğun xarakteristik ədədlərinə yaxınlaşır. Buna görə də n-nin böyük qiymətlərində seçmənin xarakteristik ədədlərini baş yığımın (X təsadüfi kəmiyyətinin) uyğun xarakteristik ədədlərinin təqribi qiymətləri hesab edirlər:

n

M^[X^]

1

≈ x̅ = _n ∑ x_k

k=1

n

D^[X^]

≈ S²

1

= _n ∑

⁽x_k − x̅⁾²

k=1

Seçmənin yerləşmə xarakteristikası

Seçimin yerləşmə xarakteristikası elə sabitə deyilir ki, seçmənin bütün elementləri bu sabit ətrafında qruplaşmış olsun.

Riyazi gözləmə, moda və median ən çox istifadə edilən yerləşmə xarakteristikalarıdır.

Ehtimal nəzəriyyəsindən məlumdur ki,

x₁ , x₂ ,, x_n

qiymətlərini uyğun

olaraq

p_i  PX  x_i ,

i  1, n

ehtimalları ilə alan X diskret təsadüfü kəmiyyətinin

riyazi gözləməsi

n n

MX  _ x_i PX  x_i  _ x_i p_i

i 1 i 1

düsturu ilə hesablanır.

Burada, nəzərə alsaq ki, ixtiyari i=1, n
üçün
p  PX  x  ¹ ,

onda
MX  ¹ n x



i
ⁿ i1
olduğunu alarıq.

i i _n

Axırıncı düsturun sağ tərəfindəki ifadə seçmə orta adlanır və x ilə işarə edilir.

Beləliklə,

x  ¹ n x




i
ⁿ i1

Tutaq ki, təsadüfü seçimin x₁, x₂, …,x_n elementləri içərisində k (k

sayda müxtəlif olan z₁,z₂,…, z_k elementləri vardır.Onda

p  PX  z  ⁿⁱ ,




i  1, k


və x  ¹ k

ⁿ i1

z_i n_i
olduğunu alarıq.

i i _n



i
x  ¹ n x

ⁿ i1

düsturuna seçmə ortanın sadə,

x  ¹ k



ⁿ i1

z_i n_i

düsturuna isə çəkili

düsturu deyilir.

Təcrübədə seçimin bütün elementləri müxtəlif və yaxud eyni tezliklərə malik olduqda sadə, əks halda isə çəkili düsturdan istifadə etmək məqsədəuyğundur.

Qruplaşdırılmış seçmələr üçün riyazi gözləməni çəkili düstur ilə hesablamaq olar. Belə ki, burada z_i i –ci qruplaşdırma intervalının orta nöqtəsi, n_i isə seçmənin intervalda yerləşən elementlərinin sayı, yəni intervalın tezliyidir.

Teorem. Seçimin elementlərinin seçmə ortadan kənarlaşmaları cəmi

sıfıra bərabərdir.Yəni , _(z_i

i1
Isbatı. Doğrudan da

• 
  x)n_i  0
  

k k k

_(z_i  x)n_i  _ z_i  n_i  x_ n_i

i1

i1

i1

_ n_i  n

i 1

olduğunu nəzərə alsaq, _(z_i  x)n_i  0

i1

olduğunu alarıq.

Ehtimal nəzəriyyəsindən məlumdur ki,

x₁ , x₂ ,, x_n

qiymətlərini uyğun

olaraq

p_i  PX  x_i ,

i  1, n

ehtimalları ilə alan diskret təsadüfi kəmiyyətin

həndəsi və harmonik ortaları uyğun olaraq

n
_ p_i ln x_i

^{ n} 1

_1

G( X )  e ^i1

; H x  ^_

x
_ i1 _i

p_i ^



düsturları ilə hesablanılır. İxtiyari

i  1, n

üçün

p  ¹

i _n

olduğunu nəzərə alsaq

n

n
_ p_i ln x_{i }ln x_i ^pi _{n n}

G( X )  e ^{i 1}

_{ e} i 1

_{ П e}ln x_i ^pi

 П x ^pi

 ⁿ x x ...x

və

n
H ( X )  (_

i1


i
1 _{p )1 } n



i1 ⁱ

1 2 n

^{i1 x}i

_ 1

^{i1 x}i

olduğunu alarıq. Deməli, təsadüfü seçimin həndəsi ortası

G 

harmonik ortası isə

n
H  _n


i
_{ x} 1

i1
düsturunun köməyi ilə hesablanır.

n

Uyğun çəkili düstu lar

Gx  və ^{H }


k
_ n_i

şəklində olar.

Üstlü ortanın ümumi şəkli aşağıdakı kimidir:

^{i1 z}i

_ n

^  ^x_i

1

_k  k


_{x } ^ i1 ^ _

 _n 

 

 

k qüvvətinin dəyişilməsilə, x seçmə ortasının müxtəlif növlərini almaq olar: k=-1 olduqda harmonik orta alınır:



_{ n }1


i
 x ^1 

n

_{X har }  ^i1  _

 _n  ⁿ ₁

x
^{ } 

^{  i1} i

Aydındır ki, k=0 olduqda həndəsi orta aklnır:

^x hən^{= }
k=1 olduqda hesabı orta kəmiyyət alınır.

n
x  ¹ n x

hes

 i

i1

k=2 olduqda isə kvadratik orta kəmiyyət alınır.
x_kv 
Aydındır ki, eyni bir seçmə üçün hesablanmış müxtəlif orta kəmiyyətlər də müxtəlif olacaqdır. k qüvvəti artdıqca uyğun orta kəmiyyət artır:

^x har^{ x} hən^{ x} hes^{ x} kv

Üstlü ortaların bu xassəsi majorantlıq xassəsi adlanır. Bu münasibəti birinci dəfə A.Y. Boyarski isbat etmişdir.

Orta kəmiyyətin bu və ya digər növünün seçilməsi tədqiqatların məqsədindən, ilkin məlumatların xarakterindən və orta kəmiyyəti hesablanan göstəricinin iqtisadi mahiyyətindən asılıdır. Əlamətin dəyişən qiymətlər yığımını hər hansı bir ədədlə xarakterizə etmək zərurəti yarandıqda əlamətin paylanmada orta qiyməti göstəricisindən istifadə edilir. Bu zaman əlamətin dəyişən qiyməti onların seçmə ortası ilə əvəz edilir. Bu isə o zaman mümkün olar ki, aparılan əməliyyat öyrənilən əlamətə görə yığımın əsas xassəsini dəyişməsin.