Kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti qarshi filiali

x1 =81, 

x2 = -108, 

x3 = -27, 

x4 = 27.
Demak, sistema yagona yechimga ega, chunki 

0. Bu yechim esa
x1= 

x1/

= 3, x2= 

x2/

= -4, x3= 

x3/

= -1, x4= 

x4/

= 1.
bo’ladi.
(14) tenglamalar sistemasi bir jinsli, ya’ni b1 = b2 =...= bn= 0 bo’lgan xolni 
ko’ramiz:
(22) tenglamalar sistemasi bir jinsli, chizikli tenglamalar sistemasi deyiladi. 

---

Ishonch hosil kilish mumkinki, x1 = x2 = ... = xn = 0 (22) ning yechimi bo’ladi va 
bu yechim trivial yechim deb ataladi. Agar (22) bir jinsli sistemanig asosiy 
determinanti 

noldan farqli bo’lsa, bu sistema faqat trivial yechimga ega bo’ladi, 
chunki bu xolda 

x1=

x2 = ... =

xn= 0 va Kramyer formulasiga asosan 
x1=x2=...=xn =0 bo’ladi.
Demak (22) sistemani notrivial yechimi mavjud bo’lishi uchun 

=0 bolishi zarur.
Bundan ko’rinadiki, sistemaning notrivial yechimi bolishi mumkin. Xaqiqatan 
xam x1=t, x2=t (t-ixtiyoriy xaqiqiy son) sistemaning notrivial yechimi bo’ladi.  
Kronyekyer-Kapyelli usuli. Etibor qiladigan bo’lsak, sistemani yechishning 
Gauss usulida sistemani birgalikda ekani oldindan aniqlab olinmaydi. Tenglamalar 
sistemasini birgalikda bo’lish-bo’lmasligi, uni yechmasdan turib aniqlash usuli 
bilan tanishamiz.
(14) tenglamalar sistemasini koefitsiyentlaridan tuzilgan 
m*n tartibli hamda m

(n+1) - tartibli kengaytirilgan matritsani tuzib olamiz.
Teorema. (Kronyekyer-Kapyelli tyeoryemasi). (14) tenglamalar sistemasi 
birgalikda bo’ulishi uchun A va A’ matritsalarning ranglari teng bo’lishi, ya’ni
rang A= rang A’ bolish zarur va yetadi.
Keltirilgan teoryemadan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:
 
1.  
Agar rang A’ > rang A bo’lsa (14) sistema yechimga ega bo’lmaydi.
2.
Agar rang A = rang A’ = k bo’lsa, sistema yechimga ega bo’lib,
a) k 
b) k=n bo’lsa, sistema yagona yechimga egabo’ladi.
Misol. Quyidagi ikkita no’malumli uchta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
Yechish. Bu yerda n=2, m=3 ya’ni m>n. , rang A =2 , chunki , bo’ulishini etiborga 
olsak rang A’=2, demak bu sistemani yechimi mavjud. Berilgan sistemani birinchi 
ikki tenglamasini birgalikda yechsak x1=-5/17; x2=23/17 kelib chiqadi. Bu sonlar 
uchinchi tenglamani xam qanoatlantiradi:
4x1+9x2=4

(-5/17) +9

23/17=11.
12. MATLABda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tadqiq etish va yechish
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda MATLAB usullari. Chiziqli 
tenglamalar sistemasini yechish uchun MATLAB funksiyalari (usullari) juda ko’p 
bo’lib, biz ulardan bir nechtasini keltiramiz. Birinchi usul “chapdan bo’lish” 
usulidir:
1) x=A\B;
2) x=isqnonneg(A,B)-Ax=B chiziqli tenglamalar sistemasini kichik kvadratlar 

---

usuli bilan yechadi. Bunda A-(nxn) o’lchovli, B-
(nx1) o’lchovli, xi≥0, i=1,2,…,n. Minimallashtirish kriteriyasi: B - Ax ning 
ikkinchi normasini minimallashtirish;
3) x=isqnonneg(A,B,x0) - iterasiyalar uchun chiziqli tenglamalar sistemasining 
aniq berilgan nomanfiy boshlang’ich qiymatlarda yechib beradi;
4) [x,w]=isqnonneg(…) - yechim bilan birga qoldiqlar vektori kvadrati ikkinchi 
normasini qaytaradi;
5) [x,w,w1]=isqnonneg(…) - xuddi avvalgi buyruq kabi, yana qoldiqlar 
vektori w1 ni qaytaradi;
6) bicg(A,B)-Ax=B ning x yechimini qaytaradi; A(nxn), B(nx1). Bunda hisoblash 
iterasiyalar yaqinlashguncha yoki min{20,n} gacha bajariladi;
7) bisc(A,B,tol) - yechimni tol xatolik bilan qaytaradi;
8) bisc(A,B,tol,maxit) - avvalgi buyruq kabi, yechimni undan tashqari maxit-
maksimal iteratsiyalar soni bilan qaytaradi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga doir misollar.
Misol. Chiziqli algebrada oddiy x=A\B chiziqli tenglamani echishning MatLab 
dasturinida ko'rib chiqamiz.
A = [1 2 0; 0 4 3];
b = [8; 18];
x = A\b
Misol. Tenglamalar sistemasini chapdan bo’lish (4.12 - rasm), iterasiyalar usuli 
va Kramer usulida yeching, topilgan yechimlarni solishtiring.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.
Endi xuddi shu tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechamiz va natijalarni 
solishtiramiz.
Yechimni iterasiyalar usulida topish uchun quyidagi fayl-funksiyanituzamiz :
Natijalardan ko’rinib turibdiki, bu tenglamalar sistemasini yechimini topishga 
iterasiyalar usulini to’g’ridan-to’g’ri qo’llaganimizda taqribiy yechimni aniqlash 
jarayoni yaqinlashuvchi emas. Shuning uchun berilgan tenglamalar sistemasida 
quyidagicha o’zgartirishlar amalga oshiramiz:
e=[0.01 0.01 0.01 0.01; 0.01 0.01 0.01 0.01;
0.01 0.01 0.01 0.01;0.01 0.01 0.01 0.01];
d=inv(a)-e; b1=d*b; a1=a*e; x0=b;
U xolda hosil bo’lgan x=b1+a1x tenglamalar sistemasi yuqorida keltirilgan 
teorema shartlarini qanoatlantiradi. Iterasiyali algoritmni ishlashini 
yangi iter2 fayl-funksiya hosil qilib tekshiramiz .
Xosil qilingan iter2 fayl-funksiyasiga argumentlar a, b, x0, eps, n larning 
qiymatlarini buyruqlar oynasida hosil qilib, murojat qilamiz va quyidagi natijalarni 
olamiz (4.17-rasm).
Ko'p o'zgaruvchan regressiyaga kirish 

---

Bugungi dunyoda ma'lumotlar hamma joyda mavjud va ular turli xil bo’lishi 
mumkin. Ma'lumotlarni tahlil qilish - ma'lumotlarni tavsiflash va tasavvur qilish, 
qisqartirish, qayta ko'rib chiqish, sarhisob qilish va baholash uchun statistik va 
mantiqiy usullarni qo'llash, bu ma'lumotlar uchun yaxshiroq kontekstni ta'minlash 
zarur. 
Regressiya tahlili - bu ma'lumotlar to'plamidagi ikki yoki undan ortiq 
o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatni tekshirishga imkon beradigan muhim 
statistik usul.Regressiya tahlili ushbu savollarga javob beradi:
Ma’lumotlarning qaysi birini e'tiborsiz qoldirish mumkin? Ular bir-biri bilan 
qanday aloqada? 
* Berilgan ma’lumotlar qanchalik ishonchli? 
bir o'zgaruvchili chiziqli regressiya 
Oddiy chiziqli regressiya - bu to'g'ri chiziq yordamida bog'liq o'zgaruvchi va 
mustaqil o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabatni baholaydigan regressiya modeli. 
Y = ax +b