Kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti qarshi filiali

skalyar 
miqdorlar deyiladi. Ikkinchi tur miqdorlar o’zining son qiymati bilan to’la 
aniqlanmaydi, ularni to’la aniqlash uchun son qiymatlari bilan bir qatorda 
yo’nalishlari xam berilgan bo’lishi kerak. Masalan, kuch, tezlik, tezlanish kabi 
miqdorlar. 
Vektorlar – uzunlik va yo’nalishga ega bo’lgan miqdorlardir. Vektorlarning 
uzunligi uning moduli yoki absolyut miqdori deyiladi. Nol vektorning o’ziga xos 
xususiyatlari shundan iboratki, uning uzunligi nolga teng, u yo’nalishga ega emas.
Nolga teng bo’lmagan vektorlar yo’naltirilgan kesmalar ko’rinishida ifodalanadi va 
kabi yoziladi, bunda - berilgan vektorning boshi, – uning oxiridan iborat. 
vektorning uzunligi (moduli) | | kabi yoziladi. Bundan buyon vektorlar yoki ikkita 
harflar bilan (masalan ), yoki bitta harf bilan (masalan, ) belgilanadi.
1-ta’rif. Agar ikkita nolga teng bo’lmagan va vektorlarning uzunliklari teng, va 
ular bir xil yo’nalishga ega bo’lsalar, , bu vektorlar o’zaro tengdeyiladi va kabi 
yoziladi.
2-ta’rif. Agar ikkita nolga teng bo’lmagan va vektorlarning uzunliklari teng, , va 
ular qarama-qarshi yo’nalishlarga ega bo’lsalar, bu vektorlar qarama-
qarshi deyiladi va =- kabi yoziladi.
3-ta’rif. Agar va vektorlar bitta to’g’ri chiziqda yoki parallel to’g’ri chiziqlarda 
yotsalar, ular kollinear deyiladi.
4-ta’rif. Bitta tekislikda yoki bir necha parallel tekisliklarda yotgan uchta yoki 
undan ortiq vektorlar komplanar vektorlar deyiladi.
Fazoda ikki, uch, yoki ulardan ko’p vektorlar berilgan bo’lsin. Ularning 
uzunliklarini o’zgartirmasdan, barcha vektorlarni o’z-o’ziga parallel ravishda bitta 
umumiy nuqtaga ko’chiramiz. Vektorlar ustida bunday amal – vektorlarni umumiy 
boshlang’ich nuqtaga keltirish deyiladi. 

---

 Vektorlar ustida amallar.Fazodagi vektorlarni qo’shish, ayirish va vektorni 
skalyarga ko’paytirish amallari tekislikda vektorlar ustidagi shunday amallarga 
o’xshashdir. 
1. Vektorlarni qo’shish. Ikkita, va vektorlarni yoki uchburchak qoidasi 
bo’yicha, yoki parallelogramm qoidasi bo’yicha qo’shish mumkin.
a) Uchburchak qoidasi. vektorning boshini nuqtaga joylashtirib, vektorning 
boshini nuqtaga joylashtiramiz va vektorni yasaymiz. Unda vektorning boshini 
vektorning oxiri bilan tutashtiruvchi vektor, va vektorlarning yig’indisidan iborat 
bo’ladi.
b) Parallelogramm qoidasi. Berilgan ikkita, va vektorlarning boshini bitta 
umumiy nuqtaga keltiramiz va vektorlarni yasaymiz . So’ngra, va vektorlarni 
tomonlar sifatida qarab, parallellogrammni yasaymiz. Unda diagonalda yotuvchi 
va umumiy nuqtadan chiquvchi vektor va vektorlarning yig’indisidan iborat 
bo’ladi.
c) Ko’pburchak qoidasi. Bir nechta, , , vektorni qo’shish uchun, har bir keyingi 
vektorning boshini undan oldingi vektorning oxiriga keltiramiz . Unda birinchi 
vektorning boshini oxirgi vektorning oxiri bilan tutashtiruvchi 
vektor berilgan
 
, , 
vektorlarning yig’indisi deyiladi.
Vektorlarni qo’shish amali quyidagi xossalarga ega:
1. Qo’shishning o’rin almashtirish xossasi:
2. Qo’shishning guruhlash xossasi:
2. Vektorlarni ayirish. Ikkita va vektorlarning ayirmasi deb, shartni 
qanoatlantiruvchi vektorga aytiladi va u kabi yoziladi.
Shunday qilib, va vektorlarning ayirmasini topish uchun, vektorning oxiriga 
vektorning oxirini ko’chirish lozim. Unda, birinchi vektorning boshini ikkinchi 
vektorning boshi bilan tutashtiruvchi vektor, va vektorlarning ayirmasidan iborat 
bo’ladi: . va vektorlarning ayirmasini - = + tenglikdan topish mumkin. Buning 
uchun, va vektorlarni nuqtaga keltirib, ularda parallelogramm yasaymiz . So’ngra - 
vektorni yasaymiz va va - vektorlarda parallelogramm yasaymiz.
Unda deb yozish mumkin. Nixoyat, vektorni o’ziga parallel ravishda nuqtaga 
ko’chiramiz. Unda bo’ladi.
Shunday qilib, agar va vektorlarda parallelogramm yasalgan bo’lsa, uning bitta 
diagonalida ularning yig’indisi vektori, ikkinchisida esa, ularning ayirmasi vektori 
yotadi:
5-ta’rif. vektorning songa ko’paytmasi deb: 1) va 2) bo’lganda bo’lganda 
shartlarni qanoatlantiruvchi vektorga aytiladi, bunda -vektorlarning 
yo’nalishdoshligini, - vektorlar qarama-qarshi yo’nalganligini anglatadi.
Vektorning songa ko’paytmasi quyidagi xossalarga ega:
Bu xossalarning isbotlari planimetriyadagi shu kabi xossalarning isbotiga 
o’xshashdir. Tenglikni va vektorlar kollinearligining zaruriy va yetarli sharti 
sifatida qarash mumkin.

---

3. Fazodagi bazis haqida
Vektorning koordinatalari. Biz tekislikdagi bazisni kollinear bo’lmagan 
vektorlar jufti shaklida kiritgan edik. Unda har qanday uchinchi vektorni bazisning 
ikkita vektori orqali ifodalash mumkin bo’lgan edi.
Fazodagi vektorlarning yuqoridagiga o’xshash xossasini qarab chiqamiz. 
Fazoda uchta komplanar bo’lmagan vektorlar berilgan bo’lsin. Bunda ixtiyoriy 
to’rtinchi vektorni va vektorlar orqali ifodalash mumkinligini isbotlaymiz.
, vektorlarni umumiy nuqtaga keltiramiz . vektorlar komplanar bo’lmaganligidan 
vektorlar juftining har biri tekislikni aniqlaydi. uch orqali mos ravishda , va 
tekisliklarga parallel tekisliklar o’tkazamiz. Natijada prizmani hosil qilamiz.
Ikki vektorning skalyar va vektor ko’paytmasi.
1-teorema. Nol bo’lmagan ikkita va vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb, bu 
vektorlar uzunliklarining ular orasidagi burchak kosinusiga ko’paytmasiga 
aytiladi.
Agar va vektorlardan hech bo’lmaganda bittasi nol vektor bo’lsa, ularning 
skalyar ko’paytmasi nolga tengdir. 
Skalyar ko’paytmaning asosiy xossalari quyidagilardan iborat:
1.
O’rin almashtirish qonuni: .
2.
Guruhlash qonuni: .
3.
Taqsimot qonuni: .
Bu xossalarning isboti planimetriyadagi shunday xossalarning isbotiga 
o’xshashdir.
Skalyar ko’paytmaning fizik tadbiqi quyidagicha: siljishda o’zgarmas kuch 
bajaradigan ish bu vektorlarning skalyar ko’paytmasiga teng. 
Shunday qilib, ikki vektorning skalyar ko’paytmasi ko’paytiriluvchi vektorlar 
mos koordinatalari ko’paytmalari yig’indisiga teng ekan.
Ikki vektorning vektor ko`paytmasi. Vektor ko`paytma ta`rifini kiritishdan avval, 
biz uchta o`zaro nokomplonar vektor uchligining fazoda joylashishi bilan bog`liq 
bo`lgan zarur bir tushunchani kiritamiz. Shuni aytib o`tamizki, keyingi bandlarda 
yuritiladigan mulohazalar faqat uch o`lchovli fazoga doir bo`ladi.
6-ta`rif. Agar komplanar , va vektorlar boshi umumiy nuqtaga keltirilgandan 
so`ng vektorning oxiridan (uchidan) qaralganda vektordan vektorga qarab dan 
kichik burchakka burish soat strelkasiga teskari bo`lsa, bu , va uchlik o`ng uchlik, 
aks holda chap uchlik deyiladi.Chap yoki o`ng uchlikni tashkil etadigan 
uchlik tartiblangan uchlik deb yuritiladi. 

---

7- ta`rif. va vektorlarning vektor ko`paytmasi deb quyidagi shartlarni 
qanoatlantiradigan vektorga aytiladi. 
2-teorema. Agar va vektorlar o`zlarining, , koordinatalari bilan berilgan bo`lsa, 
vektorning vektorga vektorial ko`paytmasi
formula bilan aniqlanadi.
Isbot. Avvalo koordinata o`qlarining koordinatalar uchun quyidagi munosabatlar 
o`rinli bo`lishini eslatib o`tamiz :
va vektorlar Dekart koordinatalar sistemasida mos ravishda va koordinatalarga ega 
bo`lsin, ya`ni ko`paytmani (*) ni hamda vektor ko`paytmaning xossalarini 
e`tiborga olib topamiz:
yoki Bir xil ortoginalga ega bo`lgan qo`shiluvchilarni gruppalab yozamiz:buni 
yana ushbu ko`rinishda yozish mumkin.teorema isbotlandi.
3-teorema. va vektorlar kollinear bo`lishi uchun bo`lishi zarur va yetarli. 
1-natija.Agar va vektorlar kollinear bo`lsa,u holda ularni koordinatalari 
proporsional bo`ladi, ya`ni
4- teorema (Uchburchak yuzining formulasi). va vektorlarga uchburchak 
yasalgan bo`lsin, u holda bu uchburchakning yuzi:
formula bilan topiladi.
5. Vektorlarning aralash ko`paytmasi
8-ta`rif. vektorlar tartiblangan uchligining aralsh ko`paytmasi deb, vektor bilan 
vektorning skalyar ko`paytmasiga teng songa aytiladi va yoki kabi belgilanadi.
Aralash ko`paytmaning miqdor nuqtai nazaridan ma`nosini tekshiramiz. vektorlar 
komplanar bo`lmagan vektorlar bo`lsin. deb belgilasa, d vektor miqdori va 
vektorlardan yasalgan parallelogrammning yuziga teng . Bo`lgani uchun skalyar 
ko`paytma ta`rifiga ko`ra .Ammo miqdorning moduli, ya`ni son vektorlarga 
yasalgan parallelepipedning balandligini anglatadi. bilan orasidagi burchak o`tkir 
bo`lsa, h musbat ishora bilan, o`tmas burchak esa manfiy ishorasi bilan olinadi.
Shunday qilib . Aralash ko`paytmaning absolyut qiymati shu vektorlarga 
yasalgan parallelepiped hajmiga teng,ya`ni
Endi aralash ko`paytmaning ba`zi xossalarini keltiramiz.
.Ko`paytmada ikki qo`shni vektorning o`rinlari almashtirilsa,aralsh 
ko`paytmaning ishorasi teskariga almashadi,ya`ni quyidagi tengliklar o`rinli. .Agar 
vektorlardan istalgan 2-tasi bir-biriga teng yoki parallel(kollinear) bo`lsa,ularning 
aralash ko`paytmasi nolga teng bo`ladi.
.Agar vektorlar o`zaro komplanar vektorlar bo`lsa,ularning aralash ko`paytmasi 
nolga teng.
Proeksiyalari bilan berilgan vektorlarning aralsh ko`paytmasi. , , vektorlar 
o`zlarining koordinatalari bilan berilgan bo`lsin. Bu vektorlarning aralsh 
ko`paytmasini topaylik. vektor bilan vektorning skalyar ko`paytmasi bu 

---

vektorlarga mos proeksiyalari ko`paytmalarining yig`indisiga teng ekanini 
bilamiz.Qo’sh vector ko’paytma. Ikki vektorning vector ko’paytmasini uchinchi 
vektorga vector ko’paytirish masalasini ko’raylik. Bu ko’paytma ko’rinishda 
yoziladi.Vektor ko’paytmaning ta’rifiga ko’ra vektor ko’paytma va Vektorlar 
yotgan tekislikda perpendikulyar vektordir. Shunga o’xshash vector ko’paytma 
vektor bilan vector tekisligiga perpendikulyar vektorni bildiradi va demak, vektor 
va vektorlar tekisligida yotadi.
9-ta`rif. vektor ko’paytma qo’sh vector ko’paytma deb ataladi.
Qo’sh vector ko’paytmani xisoblashda qulay forma topish maqsadida ni bilan 
belgilaymiz, ya’ni
ning koordinata o’qlardagi proeksiyalarini va bilan, vektorlatr proeksiyalarini ham 
shunga o’xshash belgilar bilan belgilaymiz.
6.matrisaga ta’rif. 10–ta’rif. 4 ta satr ta ustundan iborat jadval to’g’ri burchakli 
matrisa deyiladi, ba’zan matrisani o’lchamli to’g’ri burchakli matrisa deb ham 
yuritiladi.
(12) matrisa uchun yozishga qulay bo’lgan ushbu belgilashdan ham foydalanamiz.
Agar matrisaning satrlari soni ustunlar soniga teng (ya’ni ) bo’lsa, matrisani 
kvadrat matrisa deyiladi. Bunday matrisa ( - tartibli) matrisa deb yuritiladi.
Agar ta satrli va ta ustunli ikkita va matrisadan birining hamma elementlari 
ikkinchisining hamma mos elementlariga teng (ya’ni ) bo’lsa, bu 
matrisalar teng deb hisoblanadi va ko’rinishda yoziladi. Agar bir matrisaning 
kamida bitta elementi ikkinchisining mos elementiga teng bo’lmasa, bu 
matrisalar teng emas deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Matrisalar uchun kichik va 
katta tushunchalari ma’noga ega emas.
7. Matrisalar ustida chiziqli amallar
11–ta’rif. Agar bir xil tartibli ikkita va matrisalar berilgan bo’lsa, vamatrisalarning 
yig’indisi deb, shunday matrisaga aytiladiki, bu matrisaning elementlari va 
matrisalarning mos elementlarining yig’indisiga teng bo’ladi va deb yoziladi.
Ta’rif bo’yicha
Matrisalar yig’indichi tarifidan uning qo’yidagi xossalari kelib chiqadi:
10. .
20. .
30. (bunda berilgan bir xil tartibli kvadrat matrisalar).
Matrisalarning ayirmasi ularning yig’indisiga o’xshash ta’riflanadi va
ko’rinishda yoziladi. Agar matrisalarning tartibi bir xil bo’lmasa, unday 
matrisalarda qo’shish va ayrish amallari kiritilmagan.
12–ta’rif. matrisani songa ko’paytirish deb, matrisaning hamma elementlarini shu 
songa ko’paytirishdan hosil bo’lgan matrisaga aytiladi va yoki ko’rinishda 
yoziladi.
Ta’rifga ko’ra
Matrisani songa ko’paytirish ta’rifidan qo’yidagi xossalar kelib chiqadi:

---

10. .
20. .
30. .
40. .
50. .
Bu yerda A va V – bir xil tartibli kvadrat matrisalar, - haqiqiy sonlar.
Agar matrisa tartibli kvadrat matrisa bo’lsa, u holda bo’ladi.
Misollar:
1) va berilgan bo’lsa, u holda
bo’ladi.
2) va berilgan bo’lsa, u holda
.
Matrisalarni ko’paytirish. Tartiblari mos ravishda va bo’lgan va to’g’ri burchakli 
matrisalar berilgan bo’lsin.
Agar A matrisaning ustunlari soni berilgan matrisaning satrlari soni p ga teng 
bo’lsa, u holda bu matrisalarni ko’paytirish amali ma’noga ega bo’ladi.
13–ta’rif. Berilgan tartibda ( -birinchi), ( -ikkinchi) olingan va 
matrisalarning ko’paytmasi deb, shunday tartibli matrisaga aytiladi, matrisaning 
elementlari formulalar bilan aniqlanadi.
Agar va lar tartibli kvadrat matrisalar bo’lsa, ularning ko’paytmasi ham tartibli 
kvadrat matrisa bo’ladi.
Qoida. Ikkita matrisani ko’paytirishdan hosil bo’lgan matrisaning - satri va - 
ustunidan turuvchi elementni hisoblash uchun birinchi matrisaning - satrida 
turuvchi elementlarni ikinchi matrisaning - ustunida turuvchi elementlarga mos 
ravishda ko’paytirib qo’shish kerak.
Matrisalarning ko’paytmasi quyidagi xossalarga ega:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. . 7. .
Bunda matrisalar, -haqiqiy son.
Ikki matrisaning ko’paytmasi uchun kommutativlik (o’rin almashtirish) xossasi 
umuman aytganda, o’rinli emas. 
8. Transponirlangan matrisa
14–ta’rif. A matrisadagi hamma strlarni qo’yida ko’rsatilgancha ustunlar qilib, (va 
aksincha, ustunlar satrlar qilib) yozsak, ushbu
ko’rinishdagi yangi matrisaga, transponirlangan matrisa deyiladi.
Transponirlash amali qo’yidagi xossalarga ega:
bunda - haqiqiy son, va matrisalar o’lchovli matrisalardir.
Agar A kvadrat matrisa uchun ya’ni lar uchun tenglik o’rinli bo’lsa, u holda 
A simmetrik matrisa deyiladi.

---

Agar lar uchun tenglik o’rinli bo’lsa, u holda A matrisa antisimmetrik 
(nosimmetrik) matrisa deyiladi.
15–ta’rif. Matrisani elementar almashtirishlar deb,