Kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti qarshi filiali

1.
Transponirlashni;
2.
Istalgan ikki satr (ikki ustun) ni o’zaro almashtirishni;
3.
Istalgan satr (ustun) ning elementlarini noldan farqli har qanday songa 
ko’paytirishni;
4.
Bir satr (ustun) ning elementlarini istalgan songa ( bo’lishi ham mumkin) 
ko’paytirib, boshqa satr(ustun)ning mos elementlariga qo’shishni aytamiz.
Agar matrisa matrisaning satrlari(yoki ustunlari)ni bir necha marta ketma-ket 
elementar almashtirishlar yordamida olingan bo’lsa, u holda matrisa 
matrisaga ekvivalent deyiladi .
 
9. Teskari matrisa haqida tushuncha  
16-ta’rif. Agar - tartibli va kvadrat matrisalar orasida – birlik matrisa) munosabat 
o’rinli bo’lsa, u holda matrisani matrisaga (va aksincha) teskari matrisa deyiladi.
matrisa uchun teskari matrisasini orqali belgilanadi. U holda o’zaro teskari 
matrisalar uchun ushbu munosabat o’rinli:
Berilgan kvadrat matrisaga teskari matrisa har doim ham mavjud bo’lavermaydi. 
Bunday matrisa mavjud bo’lganda uni topish ko’p masalalarni hal etishda muhim 
ahamiyat kasb etadi.
17–ta’rif. Agar kvadrat matrisaning determenanti nolga teng bo’lsa, u holda 
matrisani maxsus, aks holda, maxsusmas matrisa deyiladi. 
5-teorema. Ixtiyoriy maxsusmas matrisa uchun unga teskari matrisa mavjud.
Isboti. Faraz qilaylik, matrisa tartibli kvadrat matrisa bo’lib, bo’lsin. A matrisaning 
elementlariga mos keluvchi algebraik to’ldiruvchilardan tuzilgan ushbu matrisani 
qaraymiz:
Agar bu matrisani transponirlasak, matrisaga ega bo’lamiz. 1 matrisani odatda 
matrisaga qo’shma matrisadeyiladi. Hosil bo’lgan bu matrisani matrisaga teskari 
ekanini, ya’ni ekanligini isbot qilamiz.
Eslatmalar.
1. Berilgan maxsusmas matrisa uchun uning teskari matrisasi yagonadir.
2. Maxsus kvadrat matrisa uchun teskari matrisa mavjud emas.

---

Teskari matrisa quyidagi xossalarga ega:
1.
Teskari matrisaning determinanti berilgan matrisa determinantining teskari 
qiymatiga teng, ya’ni
2) Kvadrat matrisalar ko’paytmasi uchun teskari ikkinchi matrisaga teskari 
matrisaning birinchi matrisaga teskari matrisaga ko’paytmasiga teng, ya’ni 
3) Transponirlangan teskari matrisa berilgan transponirlangan matrisaning 
teskarisiga teng, ya’ni
4) Teskari matrisaning teskarisi berilgan matrisaning o’ziga teng, ya’ni
Matritsa rangi.
18-ta’rif. Matritsaning rangi deb uning noldan farqli minorlarining eng yuqori 
tartibiga aytiladi. Matritsaning rangi yoki kabi belgilanadi.
10. Ikkinchi, uchinchi tartibli determinantlarning ta’riflari
- 2-tartibli kvadrat matritsa bo’lsin.
19-ta’rif. 2-tartibli kvadrat matritsaning 2 tartibli tavsiflovchi (determinant)si deb
= songa aytiladi.
Matritsaning determinantini yoki kabi ham belgilanadi.
20-ta’rif. Ushbu songa uchinchi tartibli determinant deyiladi. Bu ifoda 
uchburchaklar qoidasi (Sarryus qoidasi) bo’yicha topiladi. Uni quyidagi jadvallar 
orqali tasvirlash mumkin bo’lib, bir xil ishora bilan bitta ko’paytmada ishtirok 
etuvchi elementlar kesmalar bilan birlashtirilib ko’rsatilgandir . 
11. Chiziqli tenlamalar va ularni yechish usullari
Funksiya chiziqli va chiziqsiz bo‘lishi mumkin. Funksiya chiziqli deyiladi, 
agarda unda qatnashayotgan o‘zgaruvchi birinchi darajali bo‘lib, u bilan faqat 
ayirish yoki qo‘shish bajarilsa. Aks holda chiziqsiz deyiladi.
Amaliyotda ko‘plab amaliy masalalar chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga 
keladi. Chiziqli tenlamalar sistemasini yechishning bir qancha usullari mavjud. 
Ularga Gauss, Kramer, matritsa, iteratsiya, Zeydel, Jardan-Gauss usullarini misol 
qilish mumkin. Bu usullarni qo‘llagan holda kompyuterda Excel, MathCad va 
MatLab dasturiy vositalarning standart matematik funksiyalari yordamida 
tenglamalar sistemasini juda oson yechish mumkin.
Quyidagi formulaga n-ta nomalumli n-ta tenglamalar sistemasi deyiladi.
Bu tenglamalar sistemasi vektor formada quyidagicha yoziladi
A×X=B. (15)
Bu yerda ,A - tenglama koeffitsientlari matritsasi;
X - nomalumlar vektori;

---

B - tenglama ozod hadlari vektori.
(15) vektor tenglamasini yechish uchun uning ikki tamoniga A-1 teskari matritsani 
ko‘paytiramiz va natijada quyidagiga ega bo‘lamiz.
A-1×A×X= A-1×B.
Matritsani uning teskarisiga ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra uning natijasi birlik 
matritsaga ega. Shu sabab (16) tenglamani quyidagicha yozamiz
X= A-1×B.
Yechimni topish uchun (17) tenglamada oldin teskari matritsani topish va keyin 
uni B vektoriga ko‘paytirish lozim.
Misol. Firma to‘rtta A1,A2,A3,A4 turdagi mahsulot ishlab 
chiqarishda S1,S2,S3,S4turdagi resurslarni ishlatadi. Resurslardan har bir mahsulot 
bir birligiga ketadigan meyor va bir kunda ketadigan resurslar hajmi jadvalda 
berilgan.
Mahs-
ulot 
turi
Har bir mahsulotning bir birligi 
uchun ketadigan meyor
Bir kunda ketadigan  
resurslar hajmi
A1 
A2 
A3
A4
S1
2
2
4
1
2250
S2
2
1
1
2
1550
S3
3
1
2
1
1850
S4
1
2
1
3
1700
Masalaning matematik modelini yozing va uni yechib bir kunda ishlab 
chiqiladigan mahsulotlar hajmini toping.
Yechish. Firma har kuni A1 mahsulotdan x1, A2 mahsulotdan x2, A3 mahsulotdan 
x3 va A4 mahsulotdan x4 hajmda ishlab chiqariladi. U holda masala quyidagi 
tenglamalar sistemasiga keladi. Bu tenglamalar sistemasini matritsa formasida 
yozamiz
A×X=B. Tenlamalar sistemasini yechishning Jardan-Gauss usulini ko‘rib 
chiqamiz. Jardan-Gauss usuli chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun 

---

zarurat tug‘ulganda A-1 teskari matritsani topish uchun eng qulay usullardan 
biridir. Bu usul mohiyati quyidagidan iborat: Sistemadagi birinchi tenglamadan 
ixtiyoriy 0 dan farqli koeffitsientli nomalum tanlanadi va birinchi tenglamaning 
hamma hadlari shu koeffitsientga bo‘linadi. Birinchi tenglama yordamida 
tanlangan noma’lum boshqa hamma tenlamalardan yo‘qotiladi. Ikkinchi 
tenglamadan ixtiyoriy 0 dan farqli koeffitsientli nomalum tanlanadi va ikkinchi 
tenglamaning hamma hadlari shu koeffitsientga bo‘lib chiqiladi. Bu tenglama 
yordamida tanlangan noma’lum qolgan hamma tenlamalardan yo‘qotiladi va 
hokazo.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. n ta no’malumli m ta 
tenglamalar sistemasini qaraymiz.Agar chizikli tenglamar sistemasi yechimga ega 
bo’lsa, u birgalikda, agar yechimga ega bo’lmasa, u birgalikda emas deyiladi. 
Quyidagi elemyentar almashtirishlar natijasida tenglamalar sistemasi o’ziga teng 
kuchli sistemaga almashadi;
1.
Istalgan ikki tenglamani o’rinlarini almashtirilsa;
2.
Tenglamalardan istalgan birini ikkala tomonini noldan farkli songa 
ko’paytirilsa;
3.
Tenglamalardan birini istalgan haqiqiy songa ko’paytirib, boshqa 
tenglamaga qo’shilsa.
Agar n>m bo’lsa, n - m ta bir xil noma’lumli xadlarni tengliklarning o’ng 
tomoniga olib o’tib, o’ng tomidagi nomalumlar ixtiyoriy qiymatlarni qabul qiladi 
deb, tenglamalar sistemasini n=m xolga keltirib olish mumkin. Shuni e’tiborga 
olib, (14) sistemani n=m xoli uchun yechamiz.
Gauss usulining moxiyati noma’lumlarni ikkinchi tenglamadan boshlab, ketma-ket 
yo’qotib oxirgi teglamada bitta no’malum qolguncha davom ettiriladi va oxirgi 
tenglamadan yuqoriga qarab no’malumlarni ketma-ket topib, yechim hosil 
qilinadi.
Gauss usulining algoritmi quyidagi qadamlardan iborat:
1-qadam. (14) sistemada birinchi tenglamani xar ikki tomonini a11 ga bo’lib, teng 
kuchli ushbu sistemani hosil qilamiz:
(18)
Birinchi tenglamani a21 ga ko’paytirib ikkinchi tenglamadan, a31 ga ko’paytirib 
uchinchi tenglamadan va xokazo an1 ga ko’upaytirib, n-tenglamadan ayiramiz. 
Natijada yana berilgan sistemaga teng kuchli ushbu yangi sistemani hosil qilamiz: 
Bu sistemada quyidagicha belgilashlar kiritilgan:
a’1k = a1k/a11, a’i k = ai k - (a1k/a11)a i1 ,

---

b’1 = b1/a11, b’i = bi - (b1/a11)a i1.
i =2,.., n; k=2,..,n.
Agar (19) sistemada biror tenglama chap tomonnidagi barcha koeffitsyentlar 
nolga teng, o’ng tomoni esa noldan farqli bo’lsa, ya’ni
0x2+ 0x3 + ... + 0xn = b k (20)
ko’rinishdagi tenglama hosil bo’lsa, sistema birgalikda emas bo’ladi va ishni shu 
yerda to’xtatamiz.
Agar (20) ko’rinishdagi tenglama hosil bo’lmasa keyingi qadamga o’tiladi.
2-qadam. Ikkinchi tenglamani a22 koefitsiyentga bo’lamiz, hosil bo’lgan 
sistemaning ikkinchi tenglamasini ketma-ket a’32,..., a’n2 ga ko’paytirib uchinchi, 
to’rtinchi va xokazo tenglamalardan ayiramiz.
Biz bu jarayonni oxirgi tenglamada xn noma’lum qolguncha davom ettirsak, 
dastlabki sistemaga teng kuchli
(21) ko’rinishdagi sistemaga ega bo’lamiz. xn=dn qiymatini (n-1) tenglama qo’yib 
xn-1 ni topamiz va xokazo, bu ishni x1 topilguncha davom ettiramiz.
Misol. Quyidagi uchta no’malumli uchta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
Yechish. Birinchi tenglamaning barcha xadlarini a11=2 ga bo’lib,
sistemani hosil qilamiz. Birinchi tenglamani 3ga ko’paytirib ikkinchi tenglamadan 
va so’ngra uchinchi tenglamadan birinchi tenglamani ayiramiz:
Ikkinchi tenglamani 0.5 ga bo’lib, so’ngra uni -1.5 ga ko’paytirib, uni uchinchi 
tenglamadan ayiramiz:
Natijada hosil bo’ladi.
Bundan ketma-ket x3=3, x2=-1+3=2, x1=0.5-0.5x2 +0.5x3 =1 larni topamiz. 
Shunday qilib, berilgan sistemani yechimlari x1=1, x2 =2, x3 =3 aniqlaymiz.
Misol. Quyidagi beshta no’malumli uchta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
Yechish. Bu sistemada x4 va x5 larni o’ng tomonga olib o’tamiz:
Misol uchun, x4 =2, x5 =1 qiymatlarni qo’ysak quyidagi sistema hosil bo’ladi:
x2 =3 ekanini e’tiborga olsak
sistemaga ega bo’lamiz. Birinchi tenglamani 2ga ko’paytirib, undan ikkinchi 
tenglamani ayirsak
hosil bo’ladi. Bundan x3 =-3/7, x2 =3, x1 =12/7 aniqlanadi.
Tenglamalar sistemani Kramyer usulidan foydalanib echishga misol keltiramiz.
Misol. Quyidagi to’rtta no’malumli to’tta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
Yechish. Sistemani Kramyer usulida yechamiz”
