Kompyuter geometriyasi va grafikasi”

Nuqtaning bir jinsli koordinatalari.
Tekislikdagi almashtirishlarni matritsa shaklida ifodalash.
Faraz qilamizki tekislikda M (y,x) nuqta berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy x₁, x₂, x₃ (bir vaqtda noldan farqli)sonlar M nuktaning bir jinsli koordinatalari deb ataladi, agarda:

YA’ni ixtiyoriy h≠0 ko‘paytiruvchi uchun - M (h, hy, hx).
Kompyuter grafikasi masalasini ishlash jarayonida ixtiyoriy M (y x), nuqtaning bir jinsli koordinatalari quyidagicha kiritiladi:
M(x,y,1) ya’ni h=1.
Osongina ko‘rish mumkinki (1) almashtirish formulalarni bir jinsli koordinatalarda quyidagicha ifodalash mumkin:
(1)
Ikki o‘lchovli almashtirishlarning xususiy hollari, yani 1, 2, 3, 4 uchun mos matritsalarni yozib chiqamiz:
Ko‘chish matritsasi (translation):

Cho‘zish (siqish) matritsasi(dilatation):

Burish matritsasi (rotation):

Akslantirish matritsasi(reflection):

Ixtiyoriy almashtirishlarning matritsasini yuqorida keltirilgan K,Ch,B,A matritsalarni ko‘paytirish (ketma-ket-superpozitsiya) orqali hosil kilish mumkin. Ular oddiy almashtirishlarning bajarilishiga qarab mos ravishda ko‘paytiriladi.
Misol: AVS uchburchakni A(y,x) uchiga nisbatan φ burchakka burish almashtirishining matritsasini quring.
1-qadam. A(y,x) nuqtani kordinatalar boshiga (0,0), ya’ni (y,x) - vektoriga ko‘chirish:

2-qadam. φ burchakka burish:

3-qadam. Dastlabki holatiga qaytarish uchun (y,x) vektorga ko‘chirish:

Keltirilgan tartibda almashtirish matritsalarini ko‘paytiramiz:

Natijada matritsa ko‘rinishida almashtirishni quyidagi ko‘rinishda olamiz:

E’tibor berilsa barcha almashtirishlarning matritsalari determinantlari noldan farqli.
Fazodagi, ya’ni uch o‘lchovli almashtirishlarni (3D, 3-dimension) kuramiz va ularni bir jinsli koordinatalarni kiritgan holda qaraymiz. Ikki o‘lchovli holdagidek nuqtani fazoda aniqlovchi uchta kordinatasini (x, y, z) to‘rtta bir jinsli koordinatalarga almashtiramiz (x, y, z,1) yoki umumiy hol uchun (hx, hy,hz,h), h≠0. Bu erda ham h - kupaytiruvchi. Keltirilgan bir jinsli koordinatalar uch o‘lchovli almashtirishlarni matritsalar orqali yozish imkonini beradi. Ixtiyoriy almashtirish uch o‘lchovli fazoda ko‘chirish, cho‘zish (siqish), burish va akslantirishlarni superpozitsiyasi orqali aniqlanishi mumkin. Shuning uchun birinchi navbatda ushbu akslantirishlarning matritsalarini ko‘ramiz Ma’lumki ko‘rilayotgan holatda matritsalarning o‘lchovi to‘rtga teng.
1. Ko‘chirish:

bu erda (λ, μ, ν) – ko‘chirish vektori.
2. Cho‘zish (siqish):

bu erda α>1 (1>α>0) - absiss o‘ki bo‘ylab cho‘zish (siqish),
β>1 (1>β>0) - ordinat o‘qi bo‘ylab (siqish) cho‘zish,
γ>1 (1>γ>0) - applikat o‘qi bo‘ylab (siqish) cho‘zish.
3.Burish:
absiss o‘qi buylab φ burchakka burish:

ordinat o‘qi buylab ψ burchakka burish:

applikat o‘qi buylab θ burchakka burish.

4.Akslantirish:
XY tekisligiga nisbatan akslantirish:

YZ tekisligiga nisbatan akslantirish:

ZX tekisligiga nisbatan akslantirish:

! Barcha matritsalarning determinantlari noldan farqli.
Fazodagi barcha almashtirishlarni keltirilgan oddiy almashtirishlar ketma-ket bajarilishi (superpozitsiya) orqali amalga oshirilishi mumkin. Ixtiyoriy fazodagi almashtirishning matritsasi quyidagi ko‘rinishga ega:

Agar biror bir geometrik ob’ekt n-ta nuqtalardan iborat bo‘lsa(ya’ni berilgan bo‘lsa), u holda almashtirish matritsasi M aniqlangandan so‘ng, berilgan nuqtalarni V_i(x_i, y_i, z_i), i=1, n matritsasini hosil kilamiz va so‘ng ko‘paytirish amalini bajaramiz:

5. Platon jisimlari (ko‘pyoqliklar).
Barcha yoqlari to‘g‘ri ko‘pburchaklardan va barcha uchlariga tegishli burchaklar o‘zaro teng bo‘lgan qavarik ko‘pyoqliklar muntazam ko‘pyoqliklar deb ataladi (Platon jismlari).
Roppa rosa beshta muntazam ko‘pyoqliklar mavjud (Buni Evklid isbotlagan): to‘g‘ri tetraedr, geksaedr(kub), oktaedr, dodekaedr, ikosaedr. Ularning asosiy xakteristikalari:

Nomi	Yoqlari (Yo) soni	Qirralari (Q) soni	Uchlari (U) soni
Tetraedr	4	6	4
Geksaedr	6	12	8
Oktaedr	8	12	6
Dodekaedr	12	30	12
Ikosoedr	20	30	20

Yo, Q va U o‘zaro quyidagi Eyler tengsizligi bilan bog‘liq: Yo+U=Q+2. Ko‘pyoqliklarni qurishni ko‘ramiz.

Buning uchun ularni uchlarini topish kifoya (etarli).
Geksaedrni (kub) qurish qiyinchilik tug‘dirmaydi (rasm 1).
Tetraedrni qurish uchun kubning qarama – qarshi yoqlaridagi ayqashgan(skreщivayuщiesya) diagonallarini o‘tkazish kerak.
Oktaedr qurishda quyidagi xossadan foydalanamiz: oktaedrning uchlari kub yoqlarining markazlariga (og‘irlik) mos keladi, ya’ni yoqlar uchlarining o‘rta arifmetik qiymatlari.
Ikosaedrni qurishni ko‘ramiz. Z o‘qida Z = ±0,5 markazi, r=1 radiusi va XY tekisligiga parallel ikkita aylana o‘tkazamiz. Har aylanani beshta teng bo‘lakka bo‘lib, ularni rasmda ko‘rsatilgan tartibga mos birlashtiramiz va ikosaedrning yoqlarini tashkil qiluvchi o‘nta muntazam uchburchakni olamiz. Qolgan yoqlari uchun nuqtalarini olamiz va mos aylanalarning nuqtalari bilan tutashtiramiz.
Dodekaedrning uchlari ikosaedr yoqlarining og‘irlik markazlari
bo‘ladi.