Ko’phadlar to’g’risida tushuncha. Ko’phadlarni bo’lish. Ko’phadlar ustida amallar bajarish

KO’PHADLARNI BO’LISH.
Bir o’zgaruvchili A(x) va B(x) ko’phadlar uchun
A(x)=B(x)∙Q(x)
tenglik o’rinli bo’ladigan Q(x) ko’phad mavjud bo’lsa, A(x) ko’phad B(x) ko’phadga bo’linadi (yoki qoldiqsiz bo’linadi) deyiladi. Bunda A(x) ko’phad bo’linuvchi, B(x) ko’phad bo’luvchi, Q(x) ko’phad esa bo’linma deyiladi.
X³-1=(x²+x+1) (x-1) ayniyatdan, A(x)=x³-1 ko’phadning B(x)= =(x²+x+1) ko’phadga (qoldiqsiz) bo’linishini va bolinma Q(x)=x-1 ko’phadga tengligini ko’ramiz.
Butun sonni butun songa (butun) bo’lish amali kabi, ko’phadni ko’phadga qoldiqsiz bo’lish amali hamma vaqt ham bajarilavermaydi. Shu sababli ko’phadni ko’phadga qoldiqsiz bo’lishga nisbatan yanada umumiyroq bo’lgan amal ─ ko’phadni ko’phadga qoldiqli bo’lish amali kiritiladi.
A(x) ko’phadni B(x) ko’phadga qoldiqli bo’lish deb, uni quydagicha ko’rinishda tasvirlashga aytiladi:
A(x)=B(x)∙Q(x)+R(x) (2.1)
(2.1) tenglikdagi Q(x) va R(x) lar bir o’zgaruvchili ko’phadlar bo’lib, R(x) ko’phadning darajasi B(x) ko’phadning darajasidan kichik yoki R(x)=0.
(2.1) tenglikdagi A(x) ko’phad bo’linuvchi, B(x) ko’phad bo’luvchi, Q(x) ko’phad bo’linma (yoki toliqsiz bo’linma), R(x) ko’phad esa qoldiq deyiladi.
Agar (2.1) tenglikda R(x)=0 bo’lsa, (1) tenglik hosil bo’ladi, ya’ni A(x) ko’phad B(x) ko’phadga qoldiqsiz bo’linadi. Shu sababli qoldiqsiz bo’lishni qoldiqli bo’lishning xususiy holi sifatida qaraymiz.
Oliy matematika kursida, har qanday A(x) ko’phadning har qanday B(x) ko’phadga (bu yerda B(x)≠0) qoldiqli bo’linishi haqidagi quydagi teorema isbotlanadi.
Teorema. A(x) va B(x) ko’phadlar haqiqiy koeffitsiyentli va B(x)≠0 bo’lsin. U holda shunday Q(x) va R(x) ko’phadlar topiladiki, ular uchun A(x)=B(x)∙Q(x)+R(x) tenglik o’rinli bo’ladi va bunda R(x) ning darajasi B(x) nikidan kichik yoki R(x)=0 bo’ladi hamda Q(x), R(x) ko’phadlar bir qiymatli aniqlanadi.
Bu teorema ko’phadni ko’phadga bo’lishning amaliy usulini bermaydi. Ko’phadni ko’phadga bo’lishning amaliy usullari ─ “aniqmas koeffitsiyentlar usuli” va “burchakli bo’lish” usulini misollarda qaraymiz.

1. 
   Misol: A(x) =x³+x+1 ko’phadni B(x)=x²+x+1 ko’phadga aniqmas koeffitsiyentlar usuli bilan bo’lamiz.
   

Yechish. A(x) 3-darajali, B(x) esa 2-darajali ko’phad bo’lgani uchun Q(x) ko’phad 1-darajali ko’phad bo’lishi kerak. A(x) ko’phadni B(x) ko’phadga bo’lishdagi qoldiqning darajasi ko’pi bilan 1 ga teng bo’ladi. Shu sababli Q(x) ni Q(x)=ax+b ko’rinishida, R(x) ni esa R(x)=px+ q ko’rinishida izlaymiz. Bu yerdagi a, b, p, q lar topilishi kerak bo’lgan aniqmas koeffitsiyentlardir.
A(x)= B(x)· Q(x) + R(x) tenglikni x³+x+1=(x²+x+1) ·(ax+b)+(px+q) ko’rinishida yozib, uning o’ng tomonidagi amallarni bajaramiz. Ixchamlashtirishlardan so’ng, x³+x+1=ax³+(a+b)x²+(a+b+p)x+(b+q) tenglikni hosil qilamiz. Ko’phadlarning tenglik shartiga ko’ra,

Sistimaga ega bo’lamiz. Bundan a=1, b=-1, p=1, q=2 ekanligi aniqlanadi.
Demak, Q(x)=x-1, R(x)=x+2.