Ko’phadlar to’g’risida tushuncha. Ko’phadlarni bo’lish. Ko’phadlar ustida amallar bajarish

σ₂ =xy larning ko’phadi ko’rinishida tasvirlanishi mumkin.
Isbot. Haqiqatan, k=1 da s₁ = x + y = σ₁ , k=2 da s₂ = x² + y² = =(x+y)² - 2xy = σ₁² - 2σ₂ . Teorema s _n-1 va s_n (bunda 1 ≤ n ≤ k , k ≤ 2) uchun to’g’ri bo’lsin. Uning s_n+1 uchun to’g’riligini isbotlaymiz:
s_n+1 = xⁿ⁺¹ + yⁿ⁺¹ = (xⁿ+yⁿ) (x+y) – xⁿy = (xⁿ +yⁿ) (x+y) – (x^n-1 + y^n-1) xy =
=s_n σ₁ - s_n-1 σ₂
Faraz bo’yicha s_n va s_n-1 lar uchun teorema to’g’ri edi. Demak, teorema s_n+1 uchun ham to’g’ri.
1.2- teorema. x, … , z o’zgaruvchilari har qanday simmetrik P ko’phad yagona ravishda shu o’garuvchilardan tuzilgan asosiy simmetrik ko’phadlardan iborat bo’ladi.
Isbot. N=2 bo’lgan holni qaraymiz. P(x,y) simmetrik ko’phad ax^m y^k qo’shiluvchiga ega bo’lsin. Agar m=k bo’lsa, bu qo’shiluvchi a(xy)^k ga, ya’ni aσ^k ga teng, k>m bo’lsa, P(x,y) ning tarkibida ax^m y^k bilan bir qatorda x va y larni o’rin almashtirishdan hosil bo’luvchi ax^m y^k qo’shiluvchi ham bo’ladi: ax^k y^m +ax^m y^k=a(xy)^m(x^k-m+y^k-m)=aσ^m₂ s_k-m . Lekin 1- teoremaga muvofiq ixtiyoriy s_k-m darajali yig’indi, demak, P simmetrik ko’phad ham har doim σ₁ , σ₂ orqali ifodalanadi.
Qisqa ko`paytirish formulalarini umumlashmalari . Agar ko’phadni ko’phadga ko’paytirish qoidalaridan foydalanib , zarur soddalashtirishlarni bajarsak , quyidagi formulalar hosil bo`ladi .
(x α)² =x² 2 αx+ α²
(x α)³ = x³ 3x² α +3x α² α²
(x+ α)(x- α)=x²- α²
(x+ α)( x² + αx+ α²)=x³+ α³
(x-α)( x² + αx+ α²)=x³- α³
(x+y+z)²=x²+y²+z² +2xy+2xz+2yz.
va hokazo.
Endi x+α ikkihadni m natural ko`rsatgichli darajaga ko`tarish qonuniyati bilan tanishamiz . Shu maqsadda (x+α) , (x+α)² , (x+α)³, (x+α)⁴ va hakazo darajalarga ko`paytirishni bajarib , hosil bo`lgan yoyilmaning koeffitsiyentlarini kuzataylik :
(x+α)¹=1x+1α
(x+α)²=1x²+2αx +1α²,
(x+α)³=1x³+3x²α+3xα²+1α³.
Yoyilmalardan bosh koeffitsiyentlar 1 ga tengligini ko`ramiz . Oxirigi ko`phadni x+α ga ko`paytirib ,
(x+α)<sup>4</sup>=1x<sup>4</sup>+4x<sup>3</sup> α +6x<sup>2</sup> α<sup>2</sup>+4 α <sup>3</sup>x+1 α<sup>4</sup>
ni hosil qilamiz . Shu kabi
(x+α)<sup>5</sup>=1x<sup>5</sup>+5x<sup>4</sup> α +10x<sup>3</sup> α<sup>2</sup>+10 α <sup>3</sup>x<sup>2</sup>+5xα<sup>4</sup>+1α<sup>5</sup>
va hakazolarni hosil qilamiz .
(x+α)<sup>n</sup> uchun quyidagiga ega bo`lamiz:
1) Yoyilmadagi barcha hadlarni soni x+α ikkihad ko`tarilayotgan daraja ko`rsatgichidan bitta ortiq , yani hadlar soni n+1 ga teng ;
2) x o`zgaruvchining ko`rsatgichi n dan 0 gacha 1 ta ga ketma-ket kamayib , α o`zgaruvchining darajasi esa 0 dan n gacha ketma-ket o`sib boradi . Har bir hadga x va α ning darajalari yig`indisi n ga teng ;
3) Yoyilma boshidan va oxiridan teng uzoqlikdagi hadlarning koeffitsiyentlari o`zaro teng , bunda birinchi va oxirigi hadlarining koeffitsiyentlari 1 ga teng ;
4) (x+α)⁰ , (x+α)¹ , (x+α)² , (x+α)³, (x+α)⁴ , (x+α)⁵ va (x+α)⁶ yoyilmalari koeffitsiyentlarini uchburchaksimon ko`rinishida joylashtiraylik:
1 (n=0)
1 1 (n=1)
1 2 1 (n=2)
1 3 3 1 (n=3)
1 4 6 4 1 (n=4)
1 5 10 10 5 1 (n=5)
1 6 15 20 15 6 1 (n=6)

Har bir satrning koeffitsiyenti undan oldingi satr qo`shni koeffitsiyentlari yig`indisiga teng (strelka bilan ko`rsatilgan ) .

Koeffitsiyentlarining bu uchburchak jadvali Paskal uchburchagi nomi bilan ataladi . Undan foydalanib , (x+α) ⁶=x⁶+6x⁵ α +15x⁴ α²+20 α ³x³+15x² α⁴ +6xα⁵+α⁶ ekanligini ko`ramiz .
n ning katta qiymatlarida paskal ucburchagidan foydalanish ancha noqulay . Masalan n=20 da hisoblash uchun dastlabki 19 qatorni yozish kerak bo`ladi .
Umumiy holda ushbu Nyuton binomi formulasidan foydalaniladi :
1) f(x) ko’pxadni darajasini deg f bilan belgilaymiz . Masalan : deg f = =5, deg f = 7
2) [f(x)+ g(x)] = g(x) + f(x)
3) [f(x) · g(x)] ·φ(x) = f(x) · [g(x)·φ(x)]
4) [f(x) + g(x)] ·φ(x)= f(x) ·φ(x)+ g(x)·φ(x)