Kóplikler teoriyaSÍ

Teorema. Hár qanday A menshiksiz matrıcasınıń keri matrıcası bar hám birden bir boladı.

3. 
   Sızıqlı teńlemeler sisteması
   

Meyli úsh belgisizli
a1 x + 1 u + S1 z = d1,
< a2 X + b2y + C2Z = d2, (6)
a₃ X + b₃ y + c ₃ z = d3 teńlemeler sisteması berilgen bolsın., y, z belgisizleriniń aldındaǵı koefficientlerinen duzilgen







D=

a₁
a₂

a₃

b₁ b₂ b₃

c₁
c₂
c₃

(7)

úshinshi tártipli anıqlawısh (6) sistemanıń bas anıqlawshı dep ataladı. (7) anıqlawıshtsh birinshi baǵanasın (6) sistemanıń saltan aǵzaları menen almastırıw nátiyjesinde birinshi járdemshi anıqlawıshqa iye bolamız, onı Dx arqalı belgileymiz. (7) anıqlawıshtısh ekinshi baǵanasın (6) sistemanıń saltan aǵzaları menen almastırıw nátiyjesinde ekinshi járdemshi anıqlawıshqa iye bolamız, onı Dy arqalı belgileymiz. (7) anıqlawıshtısh úshinshi baǵanasın (6) sistemanıń saltan aǵzaları menen almastırıw nátiyjesinde úshinshi járdemshi anıqlawıshqa iye bolamız, onı D_z arqalı belgileymiz.

Eger (6) sistemanıń bas anıqlawshı, yaǵniy (7) anıqlawısh, nolden

z = Dz-
D

(8)
ózgeshe bolsa, onda (6) sisteması
Dx Dy
x = —; y = —;
DD
formulası menen anıqlanatuǵın birden bir sheshimge iye boladı. (8) formula Kramer formulası dep ataladı.
Eger sistemanıń bas anıqlawıshı D = 0 bolsa hám D x, D u, D_z anıqlawıshlardan keminde birewi nolden ózgeshe bolsa, onda (6) sisteması sheshimge iye bolmaydı. Eger D = 0 hám D_x = 0, Dy = 0, D_z = 0 bolsa, onda (6) sisteması yamasa sheshimge iye bolmaydı, yamasa sheksiz kóp sheshimge iye boladı.
(6) sistemasınıń koefficientlerinen, x, y, z belgisizlerinen hámde saltan aǵzalarınan

	fal bl cl1		f x >		f d, 1
A=	a 2 b 2 c 2	, X =	y	B =	d 2
	< a 3 b 3 c 3 0		1^z 0		< d 3 0

(9)
matricaların duzemiz . Onda

	fa1 b1	c1 c1		f x 11	f a1 x + b1 y + c1 z 1
A • X =	a 2 b 2	c2	•	x 2	= a 2 x + b 2 y + c 1 z
	4 a 3 b 3	^c3 0		< x 3 0	^ a 3 x + b 3 y + c 3 z0 333

A • X = B
teńligi orınlı.
(9) teńlemesi (6) teńlemeler sistemasınıń matrıcalıq kórinisde jazılıwı boladı. Meyli (6) sistemasınıń (7) anıqlawıshı nolden ózgeshe bolsın. Onda joqarıda keltirilgen A matrıcasınıń keri matrıcası bar boladı:

	^A11 ^A 21 ^A 31 D D D
A -1 =	^A12 ^A 22 ^A 32 D D D AA A ^13 ^23 3-33 D D D

(9) teńliktiń hár eki tárepin A ¹ matrıcasına kóbeytirip, A ¹ AX = A ¹B

teńligin tabamız. Eger A-¹AX = (A-¹A)X = EX = X bolıwın itibarǵa alsaq,

(10)
onda matrıcalıq kórinisde jazılǵan (4) teńlemesiniń sheshimi
(xA

Егер X = y
ekenin itibarǵa alsaq onda, (10) teńligin tómendegishe jazıw mumkin:
_x
D
D
-y
D
D
T
\ 0
Keyingi teńlikten
z=Dz
D
bolatuǵınlıǵı kelip shıǵadı.
n belgisizli sızıqlı teńlemeler sistemasın n nıń ulken (n > 4) mánislerinde Kramer usılı menen sheshiw birneshe joqarı tártibli anıqlawıshlardı esaplawdı talap etedi. Sol sebebten, bunday sistemalardı sheshiwde Gauss usılınan paydalanıw maqsetke muwapıq boladı. Bul usılda belgisizler izbe iz joǵatılıp sistema ushmúyeshlik kórinisine alıp kelinedi. Eger sistema ushmúyeshlik kóriniske kelse, onda ol birden bir sheshimge iye boladı hám onıń belgisizleri ahırǵı teńlemeden baslap tabıp barıladı.
Sistema sheksiz kóp sheshimge iye bolsa, belgisizler izbe iz joǵatılǵannan keyin, ol trapeciya kórinisine keledi.
Mısal:
x 1 + x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 1,
X i + x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = —3, ^{^} 2x 1 + 3x₂ + 11 x3 + 5x4 = 2, 2 x 1 + x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = —3 sızıqlı teńlemeler sistemasın Gauss usılı menen sheshiń. Sheshiliwı: Berilgen sistemanıń ekinshi, ushinshi, tórtinshi teńlemelerinen x₁ lerdi joǵatamız. Bunıń ushın sistemanıń birinshi teńlemesin izbe iz — 1, — 2, — 2 sanlarına kóbeytemiz hám sistemanıń sáykes ekinshi, ushinshi, tórtinshi teńlemelerine qosamız. Nátiyjede, x 1 + x ₂ + 5 x 3 + 2 x 4 = 1, 2 x 3 — 2 x 4 = 4,
x ₂ + x 3 + x 4 = 0,
— x 2 — 7 x 3 — 2 x 4 = —5

yamasa	x 1 + x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 1,
1	x 2 + x 3 + x 4 = 0, x 2 + 7 x 3 + 2 x 4 = 5, x 3 — x 4 = 2

sistemasına iye bolamız. Keyingi sistemada ushinshi teńlemeden ekinshi

teńlemeni ayıramız.	x 1 + x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 1,
1	x 2 + x 3 + x 4 = 0, 6 x 3 + x 4 = 5, x 3 — x 4 = 2

Bunnan tórtinshi teńlemensin — 6 ǵa kóbeytirip, ushınshi teńlemege qossaq ushmúyeshli sistema payda boladı:


x₁ + x₂

x₂
+ 5 x₃ + 2x ₄ = 1
+ x₃ + x₄ = 0,
x₃ — x₄ = 2,
7x₄ =—7
bunnan
x₄ = —1,
x₃ = 2 + x₄ = 1,
x₂ = — x₃ — x₄ = 0,
x₁ = 1 — x ₂ — 5 x ₃ — 2 x ₄ = —2
Solay etip x₁ = -2, x₂ = 0, x₃ = 1, x₄ = -1.

Tiykarg'i ádebiyatlar

1. Aleksandrov A. D. Sushestvovanie pochti vezde vtorogo differentsiala
vipukloy funktsiy i nekotorie svyazannie s jartılay svoystva vipuklix
poverxnostey// Úsh. zapiski LGU.- 1939. Ser. mat. Vip. 6.- S. 3-35.
2. Alimov Sh. A. Drobnie stepeni ellipticheskix operatorov i izomorfizm
klassov differentsiruemix funktsiy// Dif. Urav.-T. 8, №9.- S.
1609 -1626.
3. Bers L., Djon F., Shexter M. Uravneniya s chastnimi proizvodnimi.-
M.: Mir, 1966.- 351 s.
4. Boyarskiy B. B. Obobshennie resheniya sistemi differenial'nix
uravneniy pervogo poryadka ellipticheskogo tipa s razrivnimi
koefficiyentami// Mat. sb. №4, 1957.- S. 451-503.
5. Bojarski B., Hajlasz P. and Strzelecki P. Improved Approximation of
Higher Order Sobolev Functions ın Norm and Capacity// Math. Subject
Classification, 2000.
6. Bekua I. N. Sistema differentsial'nix uravneniy pervogo poryadka
ellipticheskogo tipa i granichnie zadachi s primeneniem k teorii
obolochek// Mat. sb. №2, 1952.- S. 217-314.
7. Vladimirov V. S. Obobshennie funktsii v matematicheskoy fizike.-M.: Nauka, 1979.- 320 s.
8. Gel'fand I. M., Shilov G. Ye. Obobshennie funktsii i deystviya nad nimi.- M.: Dobrosvet, 2000.- 412 s.
9. Goluzin G. M. Geometricheskaya teoriya funktsiy kompleksnogo peremennogo.- M.: Nauka, 1976.- 540 s.
10. Goffman C. Approximation of Nonparametric Surfaces of finite area// Journal of Math. and Mech.-1963.-v. 12.- P. 737-746.
11. Imomkulov S. A. Dvajdi differentsiruemost' subgarmonicheskix funktsiy// Izv. RAN. Ser. mat.-1992.-T. 56, №4.- S. 877-888.

ё