Krish. Mavzuning dolzarbligi

MUNDARIJA.
I. Krish…………………………………………………..3-4-bet
II. Asosiy qisim……………………………………….5-bet
2.1.Cheva teoremasi………………………………..6-bet
2.2.Styuart teoremasi……………………………….7-11-bet
2.3.Menelay teoremasi……………………………….11-18-bet
III.Xulosa……………………………………………………19-bet
Foydalanilgan adabiyotlar……………………………20-bet


KRISH.
Mavzuning dolzarbligi.
Cheva va Menelay teoremalari va bu teoremalarning isboti, shuningdek ushbu teoremalarni geometrikk masalalarga tadbiqlari, uchburchakning tomonlari va yuzlari munosabatlari orasidagi munosabatni keltirib otilgan. Shuning uchun bitiruv ishi dolzarbdir.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari. Ishning asosiy maqsadi Cheva Styuart hamda Menelay teoremalarini isbotlay olish.
Kurs ishining tuzilishi. Kurs ishi mundarija, kirish qismi, uchta rejadan iboratdir. Bundan tashqari xulosa va adabiyotlar ro’yxati ham keltirilgan.

1. 
   Cheva teoremasi ta’rifi va uning xossalari.
   

Ta’rif. Agar to’g’ri chiziqlar ABC uchburchaklarning uchlaridan chiqib, qarshisidagi tomonni yoki davomini A’, B’, C’ nuqtalardan kesib, o’zlari bir nuqtada kesishsa yoki parallel bo’lsa, u holda bunday to’g’ri chiziqlar Chevi chiziqlari yoki chevianlar deyiladi.

Chevi teoremasi. Agar AA′, BB′, CC′ to‘g‘ri chiziqlar ABC uchburchakning uchlaridan chiqib, bir nuqtada kesishsa yoki parallel bo‘lib AB, BC, CA tomonlarni yoki ularning davomlarini C′, A′, B′ nuqtalarda kesib o‘tsa, u holda 𝐴𝐵′𝐵′𝐶∙𝐶𝐴′𝐴′𝐵∙𝐵𝐶′𝐶′𝐴=1 bo‘ladi.

Chevi teoremasida kelib chiqadigan natijalar.
Uchburchak medianalari bitta nuqtada kesishadi.
Uchburchak ichki burchaklari bissektrisalari bitta nuqtada kesishadi.

Chevi teoremasi. Agar AA′, BB′, CC′ to‘g‘ri chiziqlar ABC uchburchakning uchlaridan chiqib, bir nuqtada kesishsa yoki parallel bo‘lib AB, BC, CA tomonlarni yoki ularning davomlarini C′, A′, B′ nuqtalarda kesib o‘tsa, u holda 𝐴𝐵′𝐵′𝐶∙𝐶𝐴′𝐴′𝐵∙𝐵𝐶′𝐶′𝐴=1 bo‘ladi.

Chevi teoremasida kelib chiqadigan natijalar.
Uchburchak medianalari bitta nuqtada kesishadi.
Uchburchak ichki burchaklari bissektrisalari bitta nuqtada kesishadi.

Chevi teoremasi. Agar AA′, BB′, CC′ to‘g‘ri chiziqlar ABC uchburchakning

uchlaridan chiqib, bir nuqtada kesishsa yoki parallel bo‘lib AB, BC, CA
tomonlarni yoki ularning davomlarini C′, A′, B′ nuqtalarda kesib o‘tadi.

Cheva teoremasi (AX), (BY) va (CZ) to‘g‘ri chiziqlarning bir

nuqtada kesishishi bilan bog‘liq. Menelay teoremasi X, Y va Z
nuqtalarining kollinearligi bilan bogMiq. Shuning uchun ushbu
ikkita teorema o4zaro bog‘liq holda ko‘rilishi mumkin.
Agar uchta to’g’ri chiziq (kesma) bitta nuqtadan o’tsa, ular
konkurent deyiladi.
Cheviana atamasi italyan matematigi Jovanni Chevaning ismi
sharafiga qo’yilgan bo’lib, u 1678-yilda quyidagi muhim teoremani chop
ettirgan.
Cheva teoremasi. Berilgan ABC uchburchakda A, В va С
uchlardan chiqarilgan to4g4ri chiziqlarning (odatda Chevianalar
deyiladi) mos ravishda (BC), (AC) va (AB) to4g4ri chiziqlar bilan
kesishgan nuqtalari X, Y va Z bo4Isin. (AX), (BY) va (CZ) to g ri
chiziqlarning bir nuqtada kesishishi uchun tenglik bajariladi.

Menelay teoremasi Cheva teoremasining ikki tomonlama

varianti boMib, to‘g ‘ri chiziqlar (Chevianalar) haqida emas, balki
uchburchak tomonlari (yoki ularning davomlari) da joylashgan
nuqtalar haqida. Ushbu uchta nuqta bir to‘g‘ri chiziqda yotsa,
hosil boMgan to‘g‘ri chiziq transversal deyiladi.

Odatda,

uchburchakning “markazi” degan bir nechta tushuncha mavjud.
Ularni ko‘rib chiqamiz va Cheva teoremasiga aloqasini ko’rsatib
o‘tamiz.
Sentroid. AABC uchburchakda (AX), (BY) va (CZ) chiziqlar
shunday chiziladiki, (AX) chizigM [BC] kesmasini, (BY) chizig‘i
[CA] kesmasini, (CZ) chizigM [AB] kesmasini teng ikkiga boMadi.
(AX), ( BY) va (CZ) to‘g‘ri chiziq laming bitta nuqtada kesishishi
Cheva teoremasidan kelib chiqadi.
To‘g‘ri chiziqlar kesishish nuqtasi uchburchakning sentroidi
deyiladi. Chevianalar esa bu holda m edianalar deyiladi.

Cheva teoremasiga asosan (AX), ( BY) va (CZ) chiziqlar bitta

nuqtada kesishadi va kesishish nuqtasi A ABC uchburchakning
ortomarkazi deyiladi. ([AX'], [BY] va [CZ] kesmalari esa AABC
uchburchakning balandliklari deyiladi.

Cheva tenglamasini qanday eslash kerak?

Tenglikni yodlash usuliga e'tibor beramiz (1). Har bir munosabatdagi uchburchakning cho'qqilari va munosabatlarning o'zi uchburchakning uchlarini chetlab o'tish yo'nalishi bo'yicha yoziladi. ABC, nuqtadan boshlab A. nuqtadan A nuqtaga o'ting B, biz bir nuqtaga duch kelamiz BILAN 1, kasrni yozing
Nuqtadan keyin IN nuqtaga o'ting BILAN, biz bir nuqtaga duch kelamiz A 1, kasrni yozing
Nihoyat, nuqtadan BILAN nuqtaga o'ting A, biz bir nuqtaga duch kelamiz IN 1, kasrni yozing
Tashqi nuqta bo'lsa, segmentning ikkita "bo'linish nuqtasi" ularning segmentlaridan tashqarida bo'lsa-da, kasrlarni yozish tartibi saqlanib qoladi. Bunday hollarda nuqta segmentni tashqi tomondan ajratadi, deymiz.
E'tibor bering, uchburchakning uchini uchburchakning qarama-qarshi tomonini o'z ichiga olgan chiziqning istalgan nuqtasi bilan bog'laydigan har qanday chiziq segmenti deyiladi. ceviana.
Ichki nuqta holati uchun Ceva teoremasining a) tasdiqini isbotlashning bir necha usullarini ko'rib chiqamiz. Ceva teoremasini isbotlash uchun a) mulohazasini quyida taklif qilingan usullardan birortasi bilan isbotlash, shuningdek b) gapni isbotlash kerak. Ta'kidning isboti b) tasdiqning birinchi isboti a) usulidan keyin beriladi. Tashqi nuqta holati uchun Ceva teoremasining isbotlari ham xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi.

2.2. STYUART TEOREMASI.

Annotatsiya:Tezisda Styuart teoremalaridan biri keltirigan.Bu teorema orqali boshqa ko'plab
teoremalarni isbotlash mumkin.Misollar tariqasida ayrimlari tezisda yoritib berilga.Teoremedan
hozirda o'quvchilarning geometriya bo'limida bilimlarini mustahkamlash va ularni olimpiadalarga tayyorlashda foydalanib kelinmoqda.
Styuart teoremasini M.Styuart sharafiga nom olgan. Styuart teoremasidan uchburchakning medianalari va bissektrisalarini toppish uchun formulalar olish mumkin.
Teorema(Styuart): Agar ABC uchburchakning BC tomondan D nuqta olingan bo’lsa quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi: AB²DCAC²BDAD²BCBC DCBD. Teoremani isbot qilish uchun kosinuslar teoremasidan foydalanamiz. ΔABC uchburchak berilgan bo’lib D nuqta BC tomondan olingan bo’lsin, quyidagini isbot qilishimiz kerak AB²DCAC²BDAD²BCBC DCBD
Isbot: ΔABC uchburchak uchun AC²AB²BC²2ABBCcosB cosB ΔBAD uchburchak uchun AD²AB²BD²2ABBDcosB cosB hosil bo’lgan tengliklarni tenglaymiz Proporsiyaning o’rta va chetki hadlarini ko’paytiramiz
AB²BDBC²BDAC²BDAB²BCBD²BCAD²BC AB²BDBC²BDAB²BCBD²BCAC²BDAD²BC AB² (BCBD) BCBD (BCBD) AC²BDAD²BC AB²DCBCBDDCAC²BDAD²BC AB²DCAC²BDAD²BCBCDCBD teorema isbotlandi.
Styuart teoremasi. ko‘rsatilgan figurada AABC
va ^X berilgan boMsin. Unda
a(p2+ rs) = b2r+ c2s.
Isbot. = AXB bo'Isa kosinuslar qonunini qo‘Hagan holda
AAXB uchburchakdan cos в = r +p ~c .
2 pr
zL4XC ga kosinuslar qonunini qoMlasak
n
bz—s2—cp2 ,
bo ladi.
Ikki ifodani bir biriga tenglashtirib a= r+s ni hisobga olsak
oxirida kofrzlangan natijani olishimiz mumkin.

2.3.MENELAY TEOREMASI.

Ta’rif. Menelaus teoremasi yoki to'liq to'rt tomonlama teorema qadimgi Yunonistondan beri ma'lum. U o'z muallifi, qadimgi yunon matematiki va astronomi sharafiga nomlangan. Iskandariyalik Menelaus(taxminan miloddan avvalgi 100 yil). Ushbu teorema juda chiroyli va sodda, ammo, afsuski, zamonaviy maktab kursida unga etarlicha e'tibor berilmagan. Va, shu bilan birga, ko'p hollarda bu juda murakkab geometrik muammolarni juda oson va chiroyli tarzda hal qilishga yordam beradi.

1-teorema (Menelaus teoremasi). ∆ABC ni AB tomoniga parallel bo'lmagan va uning ikkita tomonini mos ravishda AC va BC F va E nuqtalarda kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq bilan, lekin D nuqtada AB chiziq bilan kesishsin. (1-rasm),

keyin A F FC * CE EB * BD DA = 1

Eslatma. Ushbu formulani osongina eslab qolish uchun siz quyidagi qoidadan foydalanishingiz mumkin: uchburchakning konturi bo'ylab cho'qqidan chiziq bilan kesishgan nuqtaga va kesishgan nuqtadan keyingi tepaga o'ting.

Isbot. Uchburchakning A, B, C cho'qqilaridan mos ravishda uchta parallel to'g'ri chiziq chizamiz, ular sekant chiziq bilan kesishguncha. Biz uchta juft o'xshash uchburchakni olamiz (ikki burchakda o'xshashlik belgisi). Uchburchaklarning o'xshashligidan quyidagi tengliklar kelib chiqadi
Va endi biz olingan ma’lumotlarni tenglikni ko’paytiramz:
Teorema isbotlangan.

Menelaus teoremasidan foydalanish.

∆ABD ni ko'rib chiqing va unga Menelaus teoremasini qo'llang (C, S, E nuqtalardan o'tuvchi chiziq sekant chiziqdir):
EA * AS SD * DC CB = 1 bo'lsin
Teorema shartiga ko'ra, biz BE/EA = 1 ga ega bo'lamiz, chunki CE medianadir va biz ilgari hisoblaganimizdek DC/CB = 1/3.
1*AS SD*1 3=1
Bu yerdan biz AS/SD = 3 ni olamiz, birinchi qarashda ikkala yechim ham ancha ixcham va taxminan ekvivalentdir. Biroq, maktab o'quvchilari uchun qo'shimcha qurilish g'oyasi ko'pincha juda murakkab bo'lib chiqadi va umuman ravshan emas, holbuki Menelaus teoremasini bilish, uni to'g'ri qo'llash uchun etarli.
Agar ABC
ning tonomlaridan yoki tomonlarini
davomidan X,Y,Z nuqtalarni : X nuqta- AB da,Y- BC da, Z- CA da yotsa,u holda
bu nuqtalar quyidagi shartni bajarsa ular bir to`gri chiziqda yotadi.
Menelaus teoremasi Kuzatilgan (teskari munosabatlar bilan birga) munosabatlarning ushbu teoremasi ma'lum bir uchburchakning uchlarini va sekantning kesishish nuqtalarini uchburchakning tomonlari (tomonlarining kengaytmalari) bilan bog'laydigan segmentlarni, qonuniyatlarni ko'rsatadi. Chizmalar uchburchak va sekantning joylashishining ikkita mumkin bo'lgan holatini ko'rsatadi. Birinchi holda, sekant uchburchakning ikki tomonini va uchinchisining davomini, ikkinchisida - uchburchakning barcha uch tomonining davomini kesib o'tadi. Teorema 1. (Menelaus) ABC ni AB tomoniga parallel bo‘lmagan va uning ikki tomonini mos ravishda B1 va A1 nuqtalarda AC va BC kesuvchi to‘g‘ri, C1 nuqtada AB, keyin esa AB1 CA1 BC1    kesilsin. 1. B1C A1B C1 A teorema 2. (Menelay teoremasiga teskari) ABC uchburchakdagi A1, B1, C1 nuqtalar mos ravishda BC, AC, AB chiziqlariga tegishli bo‘lsin, u holda AB1 CA1 BC1   1 B1C bo‘lsa. A1B C1 A , keyin A1, B1, C1 nuqtalari bitta to'g'ri chiziqda yotadi. Birinchi teoremaning isboti quyidagicha amalga oshirilishi mumkin: uchburchakning barcha uchlaridan perpendikulyarlar sekant chizig'iga tushiriladi. Natijada uchta juft o'xshash to'g'ri burchakli uchburchaklar hosil bo'ladi. Menelaus teoremasining bayonlari
Teoremani shakllantirish vaqti keldi. Shuni ta'kidlash kerakki, turli darsliklar va o'quv qo'llanmalarida uning mohiyati o'zgarmagan bo'lsa-da, uning turli xil formulalari mavjud. Atanasyan va boshqalarning 10-11-sinflar uchun darsligida Menelaus teoremasining quyidagi formulasi berilgan, keling, uni "vektor" deb ataymiz.
Teoremaning o'zini yozish qonuniyatlari haqida hech narsa aytilmagan. Shuning uchun, ba'zi repetitorlar hatto formulani qanday tartibda yozishlari kerak bo'lgan turli o'qlarni chizishadi. Va ular talabalardan ushbu ko'rsatmalarga qat'iy rioya qilishni so'rashadi. Bu qisman to'g'ri, lekin teoremaning mohiyatini tushunish uni "aylanib o'tish qoidasi" va strelkalar yordamida faqat mexanik ravishda yozishdan ko'ra muhimroqdir.
Darhaqiqat, "aylanib o'tish" ning faqat mantiqini tushunish juda muhim va u shunchalik aniqki, formulani yozishda xatolikka yo'l qo'yib bo'lmaydi. Ikkala holatda ham a) va b) AMC uchburchak formulasini yozamiz.
Menelaus teoremasi. isboti
Menelaus teoremasini isbotlashning turli usullari mavjud. Ba'zan ular uchburchaklarning o'xshashligidan foydalanib isbotlaydilar, ular uchun M nuqtadan AC ga parallel bo'lgan segment chiziladi (bu chizmadagi kabi). Boshqalar esa kesishuvchi chiziqqa parallel bo'lmagan qo'shimcha chiziq chizadilar, so'ngra kesishgan chiziqqa parallel bo'lgan chiziqlar bilan ular barcha kerakli segmentlarni ushbu chiziqqa "proyeksiya qiladilar" va Thales teoremasini umumlashtirishdan foydalanadilar (ya'ni. proporsional segmentlar haqidagi teorema) formulasini chiqaring. Biroq, ehtimol, uni isbotlashning eng oddiy usuli M nuqtadan kesishgan nuqtaga parallel ravishda to'g'ri chiziq o'tkazish orqali olinadi. Menelay teoremasini shu tarzda isbotlaylik.
Berilgan: ABC uchburchagi. PK chizig'i uchburchakning tomonlarini va MC tomonining kengaytmasini B nuqtada kesib o'tadi.

III. XULOSA.

Matematika - 10-sinf Mendel Viktor Vasilyevich, Tabiiy fanlar, matematika va axborot texnologiyalari fakulteti dekani FESGU CHEVA VA MENELAY TEOREMALARI Planimetriyada ikkita ajoyib teorema alohida o'rin tutadi: Ceva teoremasi va Menelaus teoremasi. Ushbu teoremalar o'rta maktab geometriya kursining asosiy o'quv rejasiga kiritilmagan, ammo ularni o'rganish (va qo'llash) matematikaga maktab o'quv dasturi doirasida mumkin bo'lganidan biroz ko'proq qiziqqan har bir kishi uchun tavsiya etiladi. Nima uchun bu teoremalar qiziq? Birinchidan, geometrik muammolarni echishda ikkita yondashuv samarali birlashtirilganligini ta'kidlaymiz: - biri asosiy tuzilmani aniqlashga asoslangan (masalan: uchburchak - aylana; uchburchak - kesuvchi chiziq; uchburchak - uchta chiziqdan o'tuvchi chiziq. uning uchlari orqali va bir nuqtada kesishgan;ikki parallel tomoni boʻlgan toʻrtburchak va boshqalar), ikkinchisi esa mos yozuvlar masalalari usuli (murakkab masalani yechish jarayoni qisqargan oddiy geometrik masalalar). Shunday qilib, Menelaus va Ceva teoremalari eng keng tarqalgan konstruktsiyalar qatoriga kiradi: birinchisi uchburchakni ko'rib chiqadi, uning tomonlari yoki kengaytmalari qandaydir chiziq (sekant) bilan kesib o'tadi, ikkinchisi uchburchak haqida va uchta chiziq o'tadi. uning uchlari, bir nuqtada kesishadi. Menelaus teoremasi Kuzatilgan (teskari munosabatlar bilan birga) munosabatlarning ushbu teoremasi ma'lum bir uchburchakning uchlarini va sekantning kesishish nuqtalarini uchburchakning tomonlari (tomonlarining kengaytmalari) bilan bog'laydigan segmentlarni, qonuniyatlarni ko'rsatadi. Chizmalar uchburchak va sekantning joylashishining ikkita mumkin bo'lgan holatini ko'rsatadi. Birinchi holda, sekant uchburchakning ikki tomonini va uchinchisining davomini, ikkinchisida - uchburchakning barcha uch tomonining davomini kesib o'tadi. Teorema 1. (Menelaus) ABC ni AB tomoniga parallel bo‘lmagan va uning ikki tomonini mos ravishda B1 va A1 nuqtalarda AC va BC kesuvchi to‘g‘ri, C1 nuqtada AB, keyin esa AB1 CA1 BC1    kesilsin. 1. B1C A1B C1 A teorema 2. (Menelay teoremasiga teskari) ABC uchburchakdagi A1, B1, C1 nuqtalar mos ravishda BC, AC, AB chiziqlariga tegishli bo‘lsin, u holda AB1 CA1 BC1   1 B1C bo‘lsa. A1B C1 A , keyin A1, B1, C1 nuqtalari bitta to'g'ri chiziqda yotadi. Birinchi teoremaning isboti quyidagicha amalga oshirilishi mumkin: uchburchakning barcha uchlaridan perpendikulyarlar sekant chizig'iga tushiriladi. Natijada uchta juft o'xshash to'g'ri burchakli uchburchaklar hosil bo'ladi. Teoremani shakllantirishda paydo bo'ladigan segmentlarning nisbatlari o'xshashlikda ularga mos keladigan perpendikulyarlarning nisbatlari bilan almashtiriladi. Ma'lum bo'lishicha, har bir segment - kasrlardagi perpendikulyar ikki marta bo'ladi: bir kasrda hisoblagichda, ikkinchi marta, boshqa kasrda, maxrajda. Shunday qilib, barcha bu nisbatlarning mahsuloti bittaga teng bo'ladi. Qarama-qarshi teorema “ziddiyat bilan” usuli bilan isbotlanadi. 2-teorema shartlarida A1, B1, C1 nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotmaydi deb faraz qilinadi. Keyin A1B1 chizig'i AB tomonini C1 nuqtadan farqli ravishda C2 nuqtada kesib o'tadi. Bunda 1-teoremaga ko'ra A1, B1, C2 nuqtalari uchun A1, B1, C1 nuqtalaridagi kabi munosabat amal qiladi. Bundan kelib chiqadiki, C1 va C2 ​​nuqtalari AB segmentini teng nisbatda bo'ladi. Keyin bu fikrlar bir-biriga to'g'ri keladi - biz qarama-qarshilikka ega bo'ldik. Menelaus teoremasini qo'llash misollarini ko'rib chiqing. 1-misol. Uchburchakning kesishish nuqtasidagi medianalari cho‘qqidan hisoblaganda 2:1 nisbatga bo‘linishini isbotlang. Qaror. ABMb uchburchagi va McM(C) chiziq uchun Menelaus teoremasida olingan nisbatni yozamiz: AM c BM M bC       1. M c B MM b CA Bu ko‘paytmadagi birinchi kasr aniq teng. 1, uchinchi ikkinchi nisbat esa 1 ga teng. Shuning uchun, isbotlanishi kerak bo'lgan 2 2: 1. 2-misol. Sekant ABC uchburchakning AC tomonining kengaytmasini B1 nuqtada kesib o'tadi, shunda C nuqta AB1 segmentining o'rta nuqtasi bo'ladi. AB tomoni shu sekant bilan ikkiga bo'linadi.