Kurs ishi mavzu: Tasodifiy miqdorlar dispersiyasi Bajardi: M. To’xtasinova Qabul qildi: Z. Alimov Farg’ona-2022 Reja: Kirish Asosiy qism

2.3-§.Diskret tasodifiy miqdor tarqoqligining sonli xarakteristikalari
Matematik kutilishlari bir xil, lekin mumkin boʻlgan qiymatlari har xil boʻlgan tasodifiy miqdorlarni koʻrsatish qiyin emas.
Masalan, quyidagi taqsimot qonunlari bilan berilgan X va Y diskret tasodifiy miqdorlarni koʻraylik:
X -0,01 0,01 Y -100 100
P 0,5 0,5 p 0,5 0,5
miqdorlarning matematik kutulishlarini topamiz:
M(X) = -0,01 0,5 + 0,01 0,5 = 0,
M(Y)=-100 0,5+100 0,5 = 0.
Bu yerda ikkala miqdorining ham matematik kutilishi bir xil, mumkin boʻlgan qiymatlari esa har xil, shu bilan birga X ning mumkin boʻlgan qiymatlari uning matematik kutilishiga yakin. Y ning mumkin boʻlgan qiymati esa oʻzining matematik kutilishidan ancha uzoq. Shunday qilib, tasodifiy miqdorning fakat matematik kutilishini bilgan holda uning qanday qiymatlar qabul qilishi mumkinligi haqida ham, bu qiymatlar matematik kutilish atrofida qanday sochilganligi haqida ham biror mulohaza yuritish mumkin emas. Boshqacha qilib aytganda, matematik kutilish tasodifiy miqdorni toʻliq xarakterlamaydi. Shu sababli matematik kutilish bilan bir qatorda boshqa sonli xarakteristikalar ham kiritiladi. Jumladan, tasodifiy miqdorning mumkin boʻlgan qiymatlari uning matematik kutilishi atrofida qanchalik tarqoqligini baholash uchun dispersiya deb ataluvchi sonli xarakteristikadan foydalaniladi.
Aytaylik, X - tasodifiy miqdor. M(X) uning matematik kutilishi boʻlsin. Yangi tasodifiy miqdor sifatida X–M(X)ayirmani qaraymiz. Chetlanish deb, tasodifiy miqdor bilan uning matematik kutilishi orasidagi farqqa aytiladi.
X ning taqsimot qonuni maʼlum boʻlsin:

Chetlanishning taqsimot qonunini yozamiz. Chetlanish X–M(X) qiymat qabul qilishi uchun tasodifiy miqdor x₁ qiymat qabul qilishi kifoya. Bu hodisaning ehtimoli esa p₁ ga teng; demak, chetlanishning ham x₁–M(X) qiymat qabul qilish ehtimoli p₁ ga teng. Chetlanishning boshqa mumkin boʻlgan qiymatlari uchun ham yuqoridagiga oʻxshash mulohazalar oʻrinli.
Shunday qilib, chetlanish quyidagi taqsimot qonuniga ega.


Chetlanishning keyinchalik qoʻllanadigan muhim xossasini keltiramiz.
Teorema. Chetlanishning matematik kutilish nolga teng:
.
Isboti. Matematik kutilishining xossalaridan (ayirmaning matematik kutilishi matematik kutilishlar ayirmasiga teng, oʻzgarmas sonning matematik kutilishi oʻsha oʻzgarmasning oʻziga teng) foydalanib va M(X) oʻzgarmas ekanligini nazarda tutib, quyidagini hosil qilamiz:

Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb, tasodifiy miqdorni oʻzining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratining matematik kutilishiga aytiladi:
.
Tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan boʻlsin:

U holda chetlanish kvadrati quyidagi taqsimot qonuniga ega bo’ladi:


Shunday qilib, dispersiyani hisoblash uchun chetlanish kvadratining mumkin boʻlgan qiymatlarini ularning ehtimollariga koʻpaytmalari yigʻindisini hisoblash kifoya.