Kvarterionlar nazariyasining asosiy tushunchalari

Kvarterionlar nazariyasining asosiy tushunchalari.
Oldingi boblarda kompleks sonlarning ba’zi qo’llanilishini ko’rib chiqildi.Shu bilan birga ,ushbu kitobning vazifalariga ko’ra,oliy matematika tushunchalariga asoslangan ilovalar ko’rib chiqilmadi.Shunday qilib,matematik fizikaning bir qator muommolarida alohida ahamiyatga ega bo’lgan eng muhimlarini o’z ichiga olgan kompleks sonlarning butun bir qator ilovalarni kiritish mumkin emas .
Bu juda muhim cheklovlarga qaramay va kompleks sonlar nazariyasining bir qator foydali ilovalarini o’z ichiga oladi.Va barcha mazmun aniqki ,faqat murakkab sonlar kiritilgandan keyin algebra to’liq uyg’unlik va to’liqlikni oladi,chunki hozirda esa hisoblash operatsiyalari elementar matematikada ko’rib chiqiladi .Odatda har doim to’la .Faqat harakatlarni amalga oshirish mumkin bo’lmagan istisno holatlari qoladi:masalan, nolga bo’linish imkonsiz bo’lib qoladi.
Bundan trigonometric funksiyalarga oid bir qancha formulalarni topish uchun qulay hisoblash usullari olinadi.Ular nazariyasi ko’rsatkichli funksiyalar nazariyasi bilan bog’liq.Bu nafaqat ushbu funksiyalar nazariyasiga katta uyg’unlik va ichki soddalikni beradi.
Shunday qilib, algebraga mavhum sonlarni kiritish aldamchi darajada samarali bo’lib chiqdi.Nazariya soddalikni g’alaba qozondi, va katta birlikka erishdi .Amaliyot ham bundan kam foyda ko’rmadi,chunki matematikaning hisoblash aparati nihoyatda foydali va qulay vositalar bilan boyitilgan.
Bunday sharoitda algebrani kengaytirishning boshqa imkoniyatlari bormi , degan savol tug’lishi tabiiy .Xususan Gauss va uning zamondoshlari, jumladan,Argand kompleks sonlar ustida bajariladigan ba’zi amallarga mos kelishini aniqlaganliklari sababli, ikki yoki undan ortiq mavhum birlikli sonlarni qurish haqida fikr yuritishi tabiiy edi. Bunday holda, shakl raqamlari

Bu yerda va mavhum birliklarda uch o'lchovli fazoda tekislikdagi o’xshash geometrik tasvirga ega bo’lishimiz mumkin.
O’z asarlaridagi ba’zi parchalardan ko’rinib turibdiki,Gauss bunday umumlashmalarni murakkab sonlar nazariyasiga xos bo’lgan soddalik bilan amalga oshirish mumkin emasligiga allaqachon amin edi. raqamlari uchun qisman geometric mulohazalar yordamida taxmin qilish mumkin.Gap shundaki, tekislik va fazoning xossalari, jismlarning harakati xususiyatlari o’rtasida chuqur farq bor.Ba’zi tekisliklarga parallel ravishda amalga oshiriladi va tananing ixtiyoriy harakatlari.B u farq bir qatir vaziyatlarda namoyon bo’ladi.Shunday qilib, masalan, cheksiz miqdordagi muntazam ko’pburchaklar mavjuda va pranil ko’pburchaklar soni cheklangan.-Aflotunga tegishli bo’lgan beshta muntazam ko’pburchakalar yetarli sabablarsiz va muntazam yulduzli ko’pburchaklar 19-asrda kashf etilgan.Puinsot.Mos ravishda tomonlari va burchaklari bir xil bo’lgan ikki uchburchaklar bir-biriga teng, qirralari va burchaklari bir xil bo’lgan bo’lgan ikkita tetraedra bir xil bo’lmasligi mumkin.Ehtimol, bundan ham sezilarli farq quyoidagilarni ifodalaydi.
Tekislik figurasi nuqta atrofida aylantiriganda ,u avval burchak orqali , keyin esa uch burchak orqali aylantiriladimi yoki aksincha, farq qilmaydi . ikkilasida ham slupam figurali parvoz bir va bir xil pozitsiya .Shu tarzda , oqim uzunligi atrofida tekislik figurasi kommutativdir.Fazoda narsalar butunlay boshqacha .Bu yerda nuqta atrofida vaqt bilan,berilgan nuqtadan o’tadigan aylanishlar mumkin .Va shu bilan birga ,u organic bo’lib chiqadi, tana avval bir o’q atrofida burchak ostida,so’ngra ikkinchi o’q atrofida 3 burchak ostida burish uchun bir xil poporotniklarni teskari tartibda birinchi navbatda, tog’ o’qi atrofida aylantiring ,burchak I ,keyin esa birinchi atrofida burchak ostida.
Tekislik geometriyasi bilan tekislik geometriyasi o’rtasidagi chuqur farq uning kompleks sonlar algebrasida aks etishini kengaytiriladi.Ko’rinib turibdiki, sonlar uchun oddiy kompleks sonlar kabi oddiy va qulay nazariya bo’lishi mumkin.Gamilton bu savolni uzoq vaqt (1805-1861) o’rgangan .U 1843 yilda u barcha giperlar deb ataladigan algebraning eng muhim pallasini topdi.Murakkab algebralar ,ya’ni (1) ga o’xshash bir nechta sonlarni qo’shish orqali haqiqiy sonlardan olingan sonlar bilan shug’illanuvchi mavhum birliklar deb ataladi.
Gamilton kvarterionlar nazariyasini ,ya’ni , ustidagi sonlar nazariyasini yaratdi, ularning kompleks birliklari:


Bu formuladan ko’rinib turibdiki,to’rtlik algebrasida ko’paytirish kommutativdir: shunday qilib, а . Bu algebrani biroz murakkablashtiradi.Chunki biz hisobga olishimiz kerak va tartib ko’paytiriladi.Oddiy algebraning barcha asosiy qonunlarini saqlaydigan giperkompleks algebralar yo’qligini isbotlangan.
Kvarterionlar nazariyasini yaratishda Gamilton faqat kommutativlikdan voz kechdi.Bu qurbonlik birinchi qarashda ko’rinadiganidan kamroq bo’lib chiqdi.
Shunday qilib , kvarterionlar algebrasini hali ham haqiqiy sonlar algebrasiga nisbatan yaqin deb hisoblash mumkin .Shu bilan bog’liq holda , barcha giperkompleks algebralar ichida kvarterionlar nazariyasi eng ko’p qo’llanishga ega, ammo kamroq bo’lsa ham.oddiy kompleks sonlar algebrasi.
Kvarterionlar algebrasidagi asosiy tushunchalar quyidagicha o’rnatiladi.
. Ikki kvarterion :

Agar va faqat bo’lsa farqlang:

Xususan, agar bo’lsa ,u holda

aksincha.
. Qo’shish tenglikbilan belgilanadi:

Bundan kelib chiqadiki, past qo’shish quyidagi formula bo’yicha bajarilishi kerak:

Shu bilan birga ,qo’shish ham kommutativlikni ,ham assosativlikni saqlaydi
.Ikki kvarterionni ko’paytirish quyidagicha aniqlanadi :
bu yerda

Bu formula shaklining o’zidan kelib chiqadiki,umuman olganda,hosila bilan farq qiladi, ya’ni hosila o’zgarmasdir.Boshqa tomondan, formulalar (5) dan osonlikcha hosil bo’ladi,shuning uchun har bir tenglik taqsimlanadi :
,
Bu yerda va -to’rtburchaklar berilgan .
Bo’lish qoidasi va ko’paytirish formulalaridan kelib chiqadi. Agar birinchi omil va hosila berilgan bo’lsa, u holda W ni F ga bo’lish shunday chorak bo’ladi ,что .
dan kelib chiqadiki , va sonlarini topish uchun formulalarni to’rtta noma’lumdan iborat to’rtta tenglamasi sifatida ko’rib chiqishi kerak : и
Ushbu tenglamalarni yechishda, ularning yechimi har doim ma’lum bir jovabga olib kelishini aniqlaymiz, ya’ni, bo’luvchi nolga teng bo’lgan hol bundan mustasno . Bunday holda, ikki xil koeffitsiyentni ajratib ko’rsatish kerak, chunki ma,lum bir hosila va omillardan biri uchun boshqa omil ,berilgan omil birinchi yoki ikkinchi bo’lishiga qarab boshqa qiymatga ega .
E’tibor bering , kvatrerionga bo’lishi mumkin to’rtburchakka ko’paytirishga o’tish

Shunday qilib, to’rtburchaklar bo’linishining umumiy holati bitta to’rtburchakka bo’linish holiga keltiriladi .Bo’linishning eng oddiy holatida to’rtlik birinchi bo’lib hisoblanadi, muhim multiplikator yoki soniya .Ikkala holatda ham shunfay bo’ladi :

Mana Gamiltonning shaxsiy kvanternion tenzori, undan qulayroqdiy to’sarning qiymati.
Kesuvchi ko’paytirilganda,u belgilanadi . Bu tekshirish oson bo’lgan shaxsga bog’liq :

Bu yerda A, B, C va D formulalar (5) bilan aniqlanadi .

Tenglik arifmetik teoremani ifodalaydi pr Lagrange .Ushbu teorema tufayli, agar bir shubha bo’lsa, to’rt kvadratning yig’indisini ifodalaydi.
E’tibor bering, kvetionlarni ko’paytirish uchun assosativlik chiqadi.Buni hisoblash orqali isbotlash mumkin murakkab harflar nazariyasida tegishli o’rinda bo’lib o’tdi.
Shu sababli, bo’linishlarning umumiy holatidan qisqartiriladi quyidagi tarzda prostelis.
Berilgan kvaternonlar uchun va olti marta bo’lsin , nima

Keling to’rtburchakni aniqlaymiz (6) formulaga muvofiq va ikkala qismini ko’paytiring tenglik (8) chapdan to’rtlikkacha .
Tenglik chiqadi:

Ko’paytirishning assosativligi tufayli biz bu yerdan olamiz:

Qavslar ichidah:

Sana kesuvchi, va va qidirilayotgan deb faraz qilaylik bu to’rtlik , nima

O’ng tomonda poyganing ikkala qismini oldingi omilga ko’paytiring :

Demak, assosativlik tufayli ko’paytiriladi, u chiqadi:

Shunday qilib, , tenglikni olamiz :

Kvarterionlarning ko’paytirish kommutativ bo’lganligi sababli, tartiblar omilga ega bo’lgan tengliklar (9) va (10) , umuman olganda , bir-biridan farqlanadi.
Shuni ham, ta’kidlaymiz, kvarterionlar nazariyasida odatiy algebra qoidasi saqlanib qoladi, agar hosila nolga teng bo’lsa, u holda kamida bitta wow meded paaencule Bu to’g’ridan-to’g’ri hosilaning Mutlaq qiymati hosilaning ko’paytmasiga mutlaq qiymatlari .
Xulosa qilib, keeling, ikki to’rtburchakni ko’paytirish masalasiga to’xtalib o’tamiz,haqqiy mavhum atamalardan iborat .Ushbu qoidani qo’llash ko’paytirish ,biz olamiz :

Tenglikning o’ng tomonida ikki qismini ajratish mumkin:haqiqiy vector qism , , teng va mavhum, tuzilgan va qolgan uchta atama .Vektorli pechka bilan tanish bo’lgan har bir kishi slemen ,bu qismlarning ma’nosi tassavur qiladi .

miqdori baza koordinatalaridagi proyeksiyalari, va sonlariga teng bo’lgan ikkita vektorning skalyar o’tkazuvchanligini ifodalaydi.Mos ravishda va .Bu qiymat ikki vektorning uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinusining hosilasiga teng .Bu bir necha jihatdan muhim.
Demak ,agar bitta vector kuchni,ikkinchisiga esa bosib o’tgan masofani ifodalasa,nuqta hosilasi ishni ifodalaydi.Tenglikning o’ng tomondagi hosilaning
mavhum qismi, (11) bir xil darajada muhim miqdor bilan bog’liq.Bazis koordinatalari bo’yicha proyeksiyalari , , , ga teng bo’lgan vector, koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari, raqamlarga to’g’ri keladigan ikki vektorning ko’paytmasi vektor deb va .Bu vector ham mexanika va fizikada muhim ahamiyatga ega .
qayd etilgan holat oddiy kompleks sonlar singari to’rtburchaklar ham muhim geometrik miqdorlarga ega bo’lgan, sonlarga ega ekanligini va ularni fizikaga qo’llash mumkinligini ko’rsatadigan misoldir.
asrning buyuk fiziklari.Mksvell kvaternionlardan foydalangan.Biroq, hozirgi vaqtda, tegishli hollarda , vector hisobi qo’llaniladi, bu ham algebraning geometriya bilan chambarchas bog’liq bo’lgan turlaridan birini ifodalaydi,SSSR ning zamonaviy matematiklari uchun muhim dastur hisoblanadi.Qishloq nazariyasining tikanlari B.A Venkov tomonidan berilgan.