Лаплас чевирмяси

Laplas çevirməsinin tərsi. Burada biz Laplas çevirməsi məlum olan funksiyanın özünün tapılması məsələsi ilə məşğul olacağıq. funksiyasının Laplas çevirməsinin F(p) olduğunu fərz edək:

Əlavə fərz edək ki , həmin funksiya aşağıdakı şərtləri ödəyir :

1. 
   funksiyasının oblastının hər bir sonlu hissəsində kəsilmə nöqtərlərinin sayı sonludur.
   
2. 
   funksiyası oblastında mütləq inteqrallanandır .
   

Onda funksiyasını oblastının diferensiallandığı hər bir nöqtədə
(5)
şəklində göstərmək olar.
Buradakı inteqral ixtiyari şaquli düz xətti üzrə götürülür və baş qiymət mənada başa düşülür. Yəni, (5) inteqralı

kimi təyin olunur. Indi təklifin isbatına keçək.
Bu məqsədlə

funksiyası üçün

olduğundan çıxır ki, funksiyası oblastında mütləq inteqrallanandır. -in diferensiallanan olduğu hər bir nöqtədə onu Furye inteqralı şəklində göstərmək olar:

x<0 olduqda funksiyası sıfır olduğundan də həmin oblastda sıfır olar. Onda

olar. Bundan başqa,

funksiyası u-nun cüt,

funksiyası isə u-nun tək funksiyasıdır. Buna görə də


olar. Bu münasibətləri nəzərə alsaq -i aşağıdakı kimi yazmaq olar:


Beləliklə,

və bu düsturun hər iki tərəfini vursaq

münasitbətini alarıq .
Burada ilə əvəz etsək,

və

olar. Bu da təklifin doğruluğunu göstərir .
Axırıncı düsturla təyin olunan funksiyasına (2) düsturu ilə təyin olunan F(z) funksiyasının tərs Laplas çevirməsi deyilir .


Laplas çevirməsinin bəzi xassələri.
I. Orijinalı sabitə vurduqda onun surəti də həmin sabitə vurulur. Başqa sözlə,

olduqda
(c = const)
olur. Bu xassənin doğruluğu aşağıdakı bərabərliklərdən görünür :

II. Iki funksiyanın cəbri cəminin Laplas çevirməsi həmin funksiyaların Laplas çevirmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.
Bu xassənin isbatı aşağıdakı kimidir :


Bu iki xassədən çıxır ki ,

olur. Bu axırıncı münasibət surətin xəttiliyini ifadə edir.

III. Köçürmə (yerdəyişmə) teoremi .

olduqda

olur .