Лаплас чевирмяси

Isbatı:

münasibətindən görünür ki,

olur.
IV. Orijinalın inteqrallanması .

olduqda

olur. Başqa sözlə, orijinalı inteqrallamaq üçün onun xəyalının -yə bölmək lazımdır.
Doğrudan da, fərz edək ki,


Deməli,

olar. olduğundan

alarıq.
və
olduğundan

və yaxud

olar ki, bu da təklifin doğruluğunu göstərir.
Bu xassədən nəticə olaraq çıxır ki ,

olar.
Laplas çevirməsinin bəzi tətbitqləri. Lapals çevirməsinin sabit əmsallı diferensial tənliklərin həllinin tətbiqinə baxaq.
Fərz edək ki,
(6)
sabit əmsallı xətti bircinsli olmayan adi diferensial tənliyinin
(7)
başlanğıc şərtlərini ödəyən həllinin tapılması tələb olunur.
Bu məsələnin həll etmək üçün (6) tənliyinin hər iki tərəfini -ə vurub intervalı üzrə inteqrallayaq:

Buradan surətin tərifinə görə

alarıq. Bu münasibətdə törəmələrin və funksiyanın surətlərinin ifadələrini yerinə yazsaq


+................................................+
(8)
alarıq. (8) tənliyinə köməkçi tənlik deməyi şərtləşək. Indi aşağıdakı işarəni qəbul edək:
(9)
(
9) ifadəsinə (6) tənliyinin xarakteristik çoxhədlisi deyilir. Xarakteristik çoxhədli vasitəsi ilə (8) tənliyini başqa şəkildə də yazmaq olar . Bu məqsədlə köməkçi tənlikdə F(p) daxil olan hədləri sol tərəfdə saxlıyıb qalan hədləri isə sağ tərəfə köçürək:


Bu münasibəti

kimi də yazmaq olar; burada ifadəsi -yə nəzərən (n-1)-dərəcəli çoxhdlidir. Buradan
(10)
düsturu alınır. Beləliklə, verilən tənliyin həllinin surətini qurmuş oluruq. Surətin məlum olan funksiyasının özünü isə Laplas çevirməsi vasitəsi ilə tapa bilərik.
Qeyd edək ki, başlanğıc şərtləri bircinsli olduqda (10) düsturu daha sadə olur. Bu halda və (10) düsturu

şəklinə düşür. Indi bu təklifləri misal üzərində izah edək.
Misal.

tənliyinin

başlanğıc şərtlərini ödəyən həllini tapmalı.
Məsələni həll etmək üçün köməkçi tənliyi quraq :

Digər tərəfdən,

olduğundan

olar. Bu funksiyanı sadə kəsirlərə ayırsaq

və
, ,
olar. Beləliklə,

və verilmiş tənliyin həlli

olar .
Teorem (Gecikmə teoremi):

olduqda istənilən sabit ədədi üçün

olur.
Teoremi isbatına keçməzdən əvvəl “gecikmə” teoreminin mənasını izah edək. Bu məqsədlə yada salaq ki, arqumentin mənfi qiymətlərində sıfır olan funksiyalara baxırıq. Yəni elə funksiyalarına baxırıq ki, olduqda olur.
Indi fərz edək ki, x zaman olmaq şərtində funksiyası hər hansı prosesi xarakterizə edir. funksiyasının qrafikinin I şəklindəki kimi olduğunu qəbul edib funksiyasının qrafikini quraq. intervalında olduğundan bu hissədə , olduqda isə onun qrafiki -in qrafikinə nisbətən koordinat başlanğıcından məsafədə sağ tərəfə çəkilmiş olar (şəkil II). Beləliklə, funksiyasının xarakterizə etdiyi proses, -in xarakterizə etdiyi prosesdən zaman müddəti qədər gec başlayar (gecikər). Buradan də “gecikmə” termini əmələ gəlmişdir.
y y

0 x 0 x

Şəkil-I Şəkil-II
Indi teoremin isbatına keçək .
intervalında olduğundan

olar. Sağ tərəfdəki inteqralda qəbul etsək

alarıq. Deməli,

olur.
Teorem(Qabaqlama teoremi):

olduqda istənilən sabit ədədi üçün

olur .
Isbatı .
inteqralında qəbul etsək,


alarıq ki, bu da teoremin doğruluğunu göstərir.