Mamirov Xusanning Kvaternionlar halqasi va uning tatbiqlari

3-ta’rif. Agar H halqaning ixtiyoriy elementi uchun bo’lsa, u holda element halqaning birlik elementi deyiladi.
. a  b  a  (b) bo’lgani uchun quyidagi tengliklarni yozish mumkin:
. va .
4-ta’rif. Qaralayotgan amal qo’shish bo’lganda ta ning yig’indisi kabi belgilanib, ni elementning butun musbat n koeffitsientli karralisi deb ataladi.
. H halqaning ixtiyoriy va ixtiyoriy natural son uchun
tenglik o’rinli.
Haqiqatan, qo’shiluvchilarni guruhlab, quyidagiga ega bo’lamiz:
, .
Bundan bo’ladi.
Assotsiativlik qonunining o’rinliligi quyidagilarni talab etadi:
Qaralayotgan elementlar soni ikkitadan ortiq bo’lganda ular ustida bajarilgan algebraik amal ko’paytuvchi (qo’shiluvchi) larning guruhlanishlariga bog’liq bo’lib qolishi mumkin, boshqacha qilib aytganda, bo’lganda
tenglik bajarilmasligi mumkin. Halqadagi assotsiativlik qonuni esa shu ikkita elementning teng, ya’ni ekanligini bildiradi.
Halqada aniqlangan assotsiativlik qonuni har qanday chekli sondagi elementlar uchun ham o’rinli bo’ladi. Bu tasdiqning isbotini matematik induksiya prinspi asosida olib boramiz.
da 2-aksiomaga asosan tasdiq o`rinli.
Aytaylik, bo’lganda bu fikrimiz n dan kichik sondagi elementlar uchun rost bo’lsin, ya’ni
va
larning natijalari qavslarning qo’yilishiga bog’liq bo’lmasin.
Biz bu ikkita ifodani ko’paytirib, ko’paytmaning ham qavsga bog’liq emasligini ko’rsatamiz. Har bir ko’paytuvchidagi elementlar soni n dan kichik bo’lgani tufayli ularning har biri ham bir qiymatli usulda aniqlangan.
Shuning uchun biz har qanday va uchun rost

tenglikning bo’lganda uchun o’rinli ekanligini ko’rsatsak kifoya. Agar

va desak uchta element ko’paytmasining assotsiativligiga ko’ra
bo’ladi.
Tasdiq isbot etildi.


5-ta’rif. Agar ko’paytuvchi elementlar n ta bo’lib, ular o’zaro teng bo’lsa, hosil bo’lib, bu ko’paytma ko’rinishda belgilanadi. Unga butun musbat darajali element deyiladi.
Endi distributivlik qonunidan kelib chiqadigan ba’zi bir natijalarni ko’rib o’tamiz. Bu qonunni chekli sondagi qo’shiluvchilar uchun o’rinli ekanligi matematik induksiya prinspi asosida isbotlanadi. Bu qonun ayirish amaliga nisbatan ham saqlanadi.
Haqiqatan, ayirmaning aniqlanishiga asosan element uchun
tengliko’rinli.
Uning ikkala tomonini ga ko’paytiramiz va qo’shishning ko’paytirishga nisbatan distributivligidan ni hosil qilamiz. Bundan element dan ning ayirmasi ekanligi kelib chiqadi.
Demak, halqada ko’paytuvchilarning biri nol element bo’lsa, ko’paytma ham nol element bo’lar ekan.
Lekin ba’zi hollarda bu tasdiqning teskarisi o’rinli bo’lmaydi. Masalan,
,
matritsalarni olsak, ularning har biri nol matritsa emas. Ammo ularning ko’paytmasi nol matritsadir.