Mamirov Xusanning Kvaternionlar halqasi va uning tatbiqlari

6-ta’rif. Halqada bo’lganda o’rinli bo’lsa, u holda va elementlar nolning bo’luvchilari deyiladi.
Odatda, halqaning nol elementi ham nolning bo’luvchisi deb yuritiladi.
7-ta’rif. Agar halqada nolning o’zidan boshqa nolning bo’luvchilari mavjud bo’lmasa, bunday halqa nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan halqa deyiladi, ya’ni

bo’lsa.
Misol: 1. (-1,1) oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiyalar to’plami qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa bo’ladi. Biz mazkur funksiyalardan ikkitasini quyidagi usulda olamiz:

O’z-o’zidan ma’lumki, bu funksiyalarning har biri noldan farqli, lekin

ularning ko’paytmasi

bo’ladi.

Yuqoridagi misolga binoan halqa nolning bo’luvchilariga ega bo’lar ekan.

2.Barcha butun sonlar to’plami kommutativ halqa bo’ladi, chunki bu to’plam qo’shish amaliga ko’ra abel gruppasidan iborat bo’lib, unda ko’paytirish amali yopiq va butun sonlarni ko’paytirish assotsiativ hamda bu amal qo’shishga nisbatan distributivdir.
3.Barcha juft sonlar to’plami halqa bo’ladi.
4.Barcha toq sonlar to’plami halqa bo’lmaydi, chunki ikkita toq son yig’indisi bu to’plamga tegishli emas.
5.Kompleks sonlar to’plami kommutativ halqa bo’ladi, chunki bu to’plamda ham halqaning barcha aksiomalari o’rinli bo’ladi.
Bu halqalar odatda sonli halqalar deb ataladi. Sonli halqalarning birortasi ham nolning bo’luvchilariga ega emas.


6. A  { } to’plam ham nolning bo’luvchilariga ega bo’lgan halqadir. Bu yerda lar modul bo’yicha chegirmalar sinflaridan iborat.

2.HALQA HARAKTERISTIKASI

1-ta’rif. H halqa uchun biror M qism to’plam H da aniqlangan qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa bo’lsa, u holda M qism to’plam H halqaning qism halqasi deyiladi.
Masalan, juft sonlar to’plami butun sonlar halqasi uchun qism halqa bo’lib, butun sonlar to’plami esa ratsional sonlar halqasining qism halqasidir.
Quyidagi teorema H halqaning biror M qism to’plami halqa bo’lish- bo’lmasligini aniqlashda muhim ahamiyatga ega.
Teorema. H halqaning biror bo’sh bo’lmagan M qism to’plami qism halqa bo’lishi uchun M ga tegishli va elementlarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi yana qism to’plamga tegishli bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti:
1) Zaruriylik sharti. Faraz qilaylik, bo’lganda bo`lsin. ekanini ko`rsatamiz. Haqiqatan har qanday va uchun va bo`lganligi sababli ni dagi va elementlarni qo`shish va ko`paytirish amallari deb olishim mumkin.
Endi to`plamning halqa ekanligiga ishonch hosil qilish uchun unda halqaning barcha aksiomalari bajarilishini ko’rsatish kifoya.
M to’plam H ning qism to’plami bo’lganligidan unda halqa ta’rifining 1- guruh aksiomalaridagi c) qismidan boshqa barchasi o’rinli. Biz hozir c) aksiomaning ham o’rinliligini ko’rsatamiz.
Teorema shartiga asosan va ekanligidan , ikkinchidan halqada yoki bo`ladi. Shunday qilib, c) aksioma ham o’rinli.
Demak, M to’plam H halqaning qism halqasi ekan.
Eslatma. bo’lgani uchun teoremadagi birinchi shartni,
ya’ni shartni olmasdan, qolgan ikkita shart bilan qanoatlansak ham bo’ladi.
2) Yetarlilik sharti. qism halqa bo’lsin.U holda da teoremadagi uchta shartning bajarilishi halqa aksiomalariga asosan kelib chiqadi.
Birlik elementga ega bo’lgan halqa berilgan bo’lsin. Biz o’z oldimizga birlik elementni o’z ichiga oluvchi va boshqa barcha qism halqalar uchun qism halqa bo’ladigan, ya’ni eng kichik qism halqani toppish vazifasini qo’yamiz. Bu qism halqada birlik element bo’lsa, u holda element ham bo`ladi.U holda

va
ham bu qism halqaga tegishli bo’ladi.

va bo’lgani uchun elementning karralilari to’plami yana halqa bo’ladi.
Agar biz bu qism halqani desak, u dagi ni o’z ichiga oluvchi eng kichik qism halqa bo’ladi. Bunda quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin:
a) barcha natural lar uchun
b) birorta natural uchun .
Natural sonlarning istalgan to’plami doimo eng kichik elementga ega bo’lganligidan shartni qanoatlantiruvchi natural sonlar ichida eng
kichik natural mavjud.