Manfiy va irrotsional sonlarni kiritish metodikasi va haqiqiy sonlar mavzusini o'qitish metodikasi reja

a va b sonlarning ayirmasi a-b deb, a=b+x shartni qanoatlantiruvchi x songa aytiladi. Ta’rifga ko’ra x = a-b
Bo’linma ta’rifini yozing.
Haqiqiy sonning butun va kasr qismi. a sonining butun qismi deb, a dan katta bo'lmagan butun sonlarning eng kattasiga aytiladi va [a] yoki E (a) orqali belgilanadi.
O'qilishi: «a ning butun qismi2» yoki 2 «antye α» (fransuzcha entiere — butun).

Sonning butun qismi quyidagi xossalarga ega:
1-xossa. a, b є Z bo'lganda, [a + b] = [a] + [b] bo'ladi.
2- x o s s a. a, b є R bo'lganda, [a + b] ≥ [a] + [b] bo'­ladi. [9+ 10]-[9]+ [10]-19; [9,8]+ [9,9] = 9 + 9 = 18. [9,8 + 9,9] = [19,7] - 19. 18 < 19.
a - [a] ayirma a sonining kasr qismi deyiladi va {a} orqali belgilanadi: {a}=a-[a]>0, 0<{a}a=[a]+{a}.
2- m iso 1.
3-misol. Agar [a] = [b] bo'lsa, -1bo'lishini isbot qilamiz.
I sbot. α = [α] + {α} va b = [b] + {b} bo'lganidan a-b = ([a] + {a})-([b] + {b}) = ([a]-[b]} + ({a} - {b}) = = {α}-{b}. Lekin 0≤{α}≤{b}Shunga ko'ra (va qarama-qarshi ma'nodagi tengsizlik-larni hadlab ayirish mumkinligiga asoslansak):
0≤{α}{b}≥O, -1≤{a}-{b}<1.
4- m i s o 1. Agar a soni butun va nomanfiy bo'lsa, [na]≥ n[a] bo'lishini isbotlang.
Isbot. [na] = [n([a] + {a})] = n[a] + n{a}, bunda n{a}≥0.
Demak, [na]≥ n[a].
Algebraik va transtsendent sonlar.
Transsedent sonlar xossalari
1. Agar t – transsendent son bo ‘lsa, u holda –t va 1/t lar ham transsendent sonlar bo ‘ladi.
2. Agar a – algebraik son, t – transsendent son bo ‘lsa u holda a+t, a-t, at, a/t, t/a sonlar ham transsendent son bo ‘ladi .
3. Agar t – transsendent son, n – butun son bo ‘lsa, u holda  va transsendent son bo ‘ladi.
Masalan, c va d lar har xil nomanfiy butun sonlar bo ‘lsin.  irratsional son ekanligini isbotlaymiz.
Yechilishi: Irratsional son haqidagi mulohazalarga asosan isbotlaymiz. Shartga ko‘ra ifoda 1 dan katta, shuning uchun ham  ifoda 0 dan katta. Teskari faraz qilaylik, ya’ni  ratsional son bo ‘lsin, u holda
, bu yerda a va b lar musbat butun sonlar. U holda
bo ‘ladi.
Bu tenglikning ikkala tomonini b darajaga ko‘tarib
tenglikka ega bo ‘lamiz.
Arifmetikaning asosiy teoremasiga asosan bu tenglik  va  bo‘lgandagina to‘g‘ri bo‘ladi ya’ni,  . Ammo c va d lar har xil sonlar edi, u holda bd va bc lar ham har xil sonlar bo ‘lishi kerak edi. Demak,  son irratsional son ekan.
Ammo hamma logarifmik ifodalar qatnashgan sonlar transsendent son bo‘lavermaydi. Masalan, 
Irratsional sonlar: algebraik (masalan, ) va transsendent(masalan,  )
Haqiqiy sonlar: algebraik(ratsional va irratsional) va transsendent(hammasi irratsional) sonlar bo‘ladi.
Qo’shimcha materiallar
Sonli ifodalarni kub ildizdan chiqarish muammosini qaraylik.
1-misol:  ni hisoblang.Bu misolni yechish uchun qandaydir sonning kubi  bo`lishi kerakligini bilish kerak. O`sha sonni topish esa birmuncha qiyinchilik tug`diradi. Shu misolni osonroq hal qilish maqsadida biz quyidagi teoremani keltiramiz.