Markaziy limit teorema

1- teorema: Yuqorida keltirilgan shartlarni qanoatlantiruvchi tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi uchun da

munosabat barcha lar uchun bajariladi.
Isboti: Uzluksiz moslik haqidagi teoremalarga asosan, teoremani isbotlash uchun da tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi ning ga intilishini ko’rsatish yetarli.
tasodifiy miqdorlar o’zaro bog’liq bo’lmaganligi va bir xil taqsimlangani uchun, xarakteristik funksiyaning 2,3–hossalariga asosan


bo’lgani uchun
(1)
tasodifiy miqdorlar chekli dispyersiyaga ega bo’lganligi uchun
bu yerda da
bunga asosan, (2)
(1) ning o’ng tomoni

ko’rinishini oladi.
Ixtiyoriy da da limitga o’tib ga ega bo’lamiz. Teorema isbotlandi.
Bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun bo’lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz.



2 – teorema: Ixtiyoriy uchun da (3) bo’lsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema urinli bo’ladi.
(3) shartga Lindeberg sharti deyiladi. Bu shartning bajarilishi ixtiyoriy uchun qo’shiluvchilarning tekis kichikligini ta’minlaydi.
Haqiqatan ham,

bo’lgani uchun

Agar (3) bajarilsa, da oxirgi tengsizlikning o’ng tomoni nolga intiladi.
Endi teoremani isbotlaymiz..
, va
bo’lsin.
tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi o’zaro bog’liq bo’lmaganligi uchun
(4)
bo’ladi va teoremani isbotlash uchun (3) sharti bajarilganda

bo’lishligini ko’rsatish yetarli.
Bizga ma’lumki uchun
(5)
va ixtiyoriy uchun
(6)
tengsizligi o’rinli.
Ixtiyoriy va da

(3) shartga asosan da
(7)
(5) va (7) ga asosan barcha va yetarlicha katta lar uchun shartni qanoatlantiruvchi larda

shuning uchun (6) dan
(8)
kelib chiqadi.
(6) ni e’tiborga olsak, (7), (8) ga asosan, da


(8) dagi yig’indini quyidagi tasvirlaymiz:

bu yerda

da ni ko’rsatamiz.
(5) dan


ni tanlash va (3) shartga asosan, da .
Demak, da ya’ni
Teorema isbot bo’ladi.
uchun mavjud bo’lsin va deb olamiz.
3 – teorema (Lyapunov teoremasi). Agar bog’lanmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo’lib, da
(9)
sharti bajarilsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema o’rinli bo’ladi.
(9) shartga Lyapunov sharti deyiladi.
Isboti: Teoremani isbotlash uchun Lyapunov sharti bajarilganda Lindeberg sharti o’rinli bo’lishligini ko’rsatamiz.
bo’lganda tengsizligi bajariladi.
Bundan va (9) shartdan
.
Demak, 3- teoremaning isboti 2- teoremadan kelib chiqadi.