Ma’ruza. Fur`e qatori Reja Trigonometrik qator tushunchasi va davriy funksiyani trigonometrik qatorga yoyish

4. davrli funksiyaning Fur`e qatori

Aytaylik, davrli davriy funksiya bo‘lsin. Uni Fur`e qatoriga yoyish maqsadida

almashtirish qilaylik. U holda funksiya t ning davrli funksiyasi va uning Fur`e qatoriga yoyilmasi.

, , (4.1)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Endi,

ekanligini e’tiborga olib, (4.1) da dastlabki o‘zgaruvchiga qaytsak,
(4.2)

5. oraliqdagi Fur`e qatori

Aytaylik, funksiya oraliqda aniqlangan, chegaralangan va bo‘lakli monoton bo‘lsin. Uni bu oraliqdan tashqariga davr bilan davom etdirib, davrli funksiyaga ega bo‘lamiz. Uni Fur`e qatoriga yoyish maqsadida, avvalo, bunday funksiya uchun.

(5.1)
tenglik o‘rinli bo‘lishini ko‘rsataylik. Buning uchun davrli funksiya bo‘lganda - ham uning davriy bo‘lishini hisobga olamiz, ya’ni

Endi almashtirish yordamida

ekanligini va bunda , deb

ni olamiz.
U holda
.
Bu (5.1) ning to‘g‘ri ekanligining tasdig‘idir.
Endi funksiyani oraliqda (4.2) formula vositasida Fur`e qatoriga yoyib, bu yerda ekanligini hamda (5.1) ni hiosbga olsak,
,
, ,
,
ni olamiz . Bu funksiyani oraliq bo‘yicha Fur`e qatoriga yoyish formulalaridir.
Mustaqil ishga doir mashqlar

1. funksiyani oraliqda Fur`e qatoriga yoying.

Javob:
2. funksiyani oraliqda sinuslar bo‘yicha yoyilmasidan foydalanib, qatorining yig‘indisini hisoblang.
Javob:
3. funksiyani oraliqda Fur`e qatoriga yoying.
Javob: .
4. funksiyani oraliqda Fur`e qatoriga yoying.
Javob:
5. funksiyani oraliqda Fur`e qatoriga yoying.
Javob:
6. funksiyani oraliqda kosinuslar bo‘yicha qatorga yoying.
Javob:
7. funksiyani intervalda sinuslar bo‘yicha qatorga yoying.
Javob:
8. funksiyani oraliqda: a) sinuslar bo‘yicha; b) kosinuslar bo‘yicha qatorga yoying.
Javob: a) b) .