Ma’ruza mashg‘ulotining rejasi

Nazorat uchun savоllar

1. 
   Natural sonlarni qo‘shish ta’rifini ayting.
   
2. 
   Natural sonlarni qo‘shish xossalarini ayting va asoslang.
   
3. 
   32 + 46 = (30 + 2) + (40 + 6) =(30 + 40) + (2 + 6) = 70+8 = 78 ning yechilishini tushuntiring.
   

33-mavzu.Qo’shishvako’paytirishjadvali. Nomanfiybutunsonlarniko‘paytirishamaliningaksiomatikta’rifi.

Ma’ruzamashg‘ulotiningrejasi:

1. 
   Nomanfiybutunsonlarko‘paytmasi, uningmavjudligivayagonaligi.
   
2. 
   Nomanfiybutun sonlar ko‘paytmasining xossalari.
   
3. 
   Ko‘paytirish jadvalini tuzish
   

Natural sonlarni ko‘paytirish amali ta’rifi va xossalari. Harbiri a ga teng bo‘lganb ta natural son yig‘indisi_{ }nitopish talab qilingan bo‘lsin. Bunday ko‘rinishdagi yigindini hisoblash ko‘p hollarda amaliy jihatdan qiyinchilik tug‘diradi. Shuning uchun bir xil qo‘shiluvchilar yig‘indisini topishni osonlashtirish maqsadida yangi amal kiritiladi. Bu amal ko‘paytirish amali deb yuritiladi.
Ta’rif. Har biri a ga teng bo‘lgan b ta qo‘shiluvchining yig‘indisini topishga ko‘paytirishamali deyiladi.
U a×b yoki a • b ko‘rinishda belgilanib, a sonining b soniga ko‘paytmasi deb ataladi.
Demak, a • b=_{ }. Bunda a• b — ko‘paytma, a, b —ko‘paytuvchilar deb yuritiladi.
Ko‘paytirish amalining aksiomatik ta’rifi quyidagicha:
Ta’rif. a natural sonining b natural soniga ko‘paytmasi deb, shunday algebraik operatsiyaga aytiladiki, unda
1) a • 1 = a,
2) a•(b+1) = a•b + a bo‘ladi.
Bu ta’rif yordamida bir xonali sonlar uchun ko‘paytirish jadvalini tuzishimiz mumkin.
Masalan, a) 2 ni ko‘paytirish jadvalini tuzaylik:




b) 3 ni ko‘paytirish jadvalini tuzaylik:




Ko‘paytirish amali quyidagi xossalarga ega.
1°. Distributivlik xossasi ( c h a p d a n ). a • (b + c) = = a • b + a • c, ya’ni natural sonning boshqa ikki natural son yig‘indisiga ko‘paytmasi, shu sonning har bir qo‘shiluvchi bilan ko ‘paytmasining yig ‘indisiga teng.
Isbot. Bu xossani isbotlashda matematik induksiya metodidan foydalanamiz.
c = 1 uchun a •(b + 1) = a • b + a •1 = a - b + a to‘g‘ri bo‘ladi.
c = n uchun a • (b + n) = ab + an to‘g‘ri deb faraz qilamiz.
c = n + 1 uchun bu xossaning to‘g‘riligini isbotlaymiz.
a•(b + n + 1) = a • [(b + n) + 1] = a(b + n) + a • 1 =[ta’rifga asosan) = ab + an + a = [farazga asosan) = ab + a(n + 1) = [ta’rifga asosan).
Demak, a • (b + c) = ab + acbo‘ladi.
2°. Distributivlik xossasi (o‘ngdan).(a + b) • c = = a • c +b • c bo‘ladi, ya’ni ikkita son yig‘indisining uchinchi son bilan ko‘paytmasi, har bir sonning uchinchi son bilan ko‘paytmasining yig‘indisiga teng.
Isbot. Buni matematik induksiya metodi yordamida amalga oshiramiz.
c = 1 uchun (a + b) • c = (a + b) • 1 = a + b = a - 1 + b•1 to‘g‘ri bo‘ladi.
c = n uchun (a + b)•n = a•n + b•n to‘g‘ri deb faraz qilamiz.
c = n + 1 uchun (a + b) • (n + 1) ni to‘g‘ri bo‘lishini isbotlaymiz.
(a + b)(n+ 1) = (a + b) • n + (a + b) = (ta’rifga asosan)
= an + bn + a + b =(farazga asosan) = an + a+bn + b = (yigindining o‘rin almashtirish xossasiga asosan) = a(n + 1) + + b(n + 1) (ko‘paytirish ta’rifiga asosan).
Demak, (a + b)(n + 1) uchun yuqoridagi xossa to‘g‘ri ekan. Bundan (a+b)•c = a•c+b•cbo‘ladi.
3°. Ko‘paytirishning o‘rin almashtirish xossasi. a • b=b • c, ya’ni ko‘paytuvchilarning o‘rnini o‘zgartirish bilan ko‘paytma o‘zgarmaydi.
Isbot. Bu xossani ham matematik induksiya metodi yordamida amalga oshiramiz.
a + 1 uchun 1 • b = b = b • 1 bo‘lib, bu xossa o‘rinli bo‘ladi.
a = n uchun n• b= b• n deb faraz qilaylik.
a = n + 1 uchun to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik.
a- b = (n + 1)• b = nb + 1 • b =(ko‘paytirishning chapdan distributivlik xossasiga asosan) = b • n + b =(farazga asosan) = b•(n + 1) (ko‘paytirishning o‘ngdan distributivlik xossasiga asosan).
Demak, (h + 1)b = b•(n + 1). Bundan a•b = b•a ekanligi kelib chiqadi.
4°. Ko‘paytirishning guruhlash xossasi. (a•b)c=a(b•c) bo‘ladi.
Isbot. Bu xossani ham matematik induksiya metodi yordamida isbotlaymiz.
(a•b)•1 = ab = a • (b • 1) to‘g‘ri bo‘ladi.
c = n uchun (a • b)• n = a • (b • n) deb faraz qilamiz. c = n + 1 uchun to‘g‘riligini isbotlaymiz.
(a • b)•(n + 1) = (a • b) • n + ab = (ko‘paytirish ta’rifiga aso- san) = a • (b • n) + a • b =(farazga asosan) = a(b • n + b) = = a(b•(n + 1)) (ko‘paytmaning distributivlik xossasiga asosan). Demak, (a • b)(n + 1) = a(b(n + 1)). Bundan (a • b)c = a(b • c).
Natija. Har qanday natural sonning 0 soni bilan ko ‘paytmasi nolga teng.
Haqiqatan ham, 0•a= _{ }= 0.


Nazorat uchun savollar:

1. 
   Natural sonlarni qo‘shish ta’rifini ayting.
   
2. 
   Natural sonlarni qo‘shish xossalarini ayting va asoslang.
   
3. 
   Nomanfiy butun sonlar ko‘paytmasita’rifini ayting, uning mavjudligi va yagonaligi haqidagi fikrni asoslang.
   
4. 
   Nomanfiy butun sonlar ko‘paytmasining xossalarini ayting va asoslang.
   

Ma’ruza mashg‘ulotining rejasi:

1. 
   Ayirish va bo‘lishning ta’rifi.
   
2. 
   Nolga bo‘lishning mumkin emasligi.
   
3. 
   Qoldiqli bo‘lish.
   

Ayirish amalining ta’rifi va xossalari. Aytaylik, bizga ikkita qo‘shiluvchining yig‘indisi a va qo‘shiluvchilardan biri b berilgan holda ikkinchi qo‘shiluvchini topish talab qilinsin. Demak, shunday x sonini topish kerakki, bunda a = b + xbo‘lsin.
1-ta’rif.Berilgan a sondan b sonni ayirish deb, b ga qo‘shganda a hosil bo‘ladigan x sonni topishga aytiladi.
Bunda: a — kamayuvchr, b — ayiriluvchi; x — ayirma deb yuritiladi va x = a - b ko‘rinishda yoziladi.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, kamayuvchi ayiriluvchi bilan ayirmaning yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Demak, a - b = x⇒a = b + x. Bundan ko‘rinadiki, kamayuvchi ayiriluvchidan katta bo‘ladi, ya’ni a>b. Nomanfiy butun sonlar to‘plamida kamayuvchi ayiriluvchidan katta yoki unga teng bo‘lgan holdagina ayirish amali aniqlangan bo‘ladi. Ya’ni a≥bbo‘lgan holda a - b ayirma mavjud bo‘ladi.
Ayirish amali quyidagi xossalarga ega:
1°. Agar ikki sonning ayirmasiga ayiriluvchi qo‘shilsa, kama-yuvchi hosil bo‘ladi, ya ‘ni a - b = c bo‘lsa, a = b + c bo‘ladi.
Isbot. Ta’rifga asosan a = b + c yoki c + b = a. Lekin
c = a- b⇒c + b = (a-b) + b = a.
2°. Agar ikki son yig‘indisidan qo‘shuvchilardan biri ayirilsa, ikkinchi qo‘shiluvchi hosil bo‘ladi, ya’ni
(∀a, b∈N)[(a + b) - b = a].
3°. Berilgan songa ikki sonning ayirmasini qo‘shish uchun kamayuvchini qo‘shib, ayiriluvchini ayirish kifoya, ya’ni
(∀a, b, c∈N)[a + (b - c) = (a + b) - c].
4°. Berilgan sondan yig‘indini ayirish uchun bu sondan qo ‘shiluvchilarni birin-ketin ayirish kifoya, ya ‘ni
(∀a, b, ∈N)[(a - (b + c) = a — b — c].
5°. Berilgan sondan ayirmani ayirish uchun kamayuvchini ayirib, ayiriluvchini qo‘shish kifoya, ya ‘ni
(∀a, b, c∈N)[a - (b - c) = (a - b) + c].