Ma’ruza rejasi

6-Misol. 
funksiyani differensiallang. 
► Funksiyani logarifmlaymiz: va tenglikning ikkala tomonini 
differensiallaymiz 
( va natijada 
(
)
◄ 
Teskari funksiyaning hosilasi 
6-Teorema. 
( funksiya nuqtada noldan farqli chekli
( hosilaga ega 
va bundan tashqari mos 
( nuqtada uzluksiz bo‘lgan uning bir qiymatli 
teskari 
( funksiyasi mavjud bo‘lsin. U holda
( hosila ham mavjud va u
(
( (9) 
tenglikni qanoatlantiradi. 
7-Misol. (9) formulani teskari trigonometrik funksiyalarning hosilasini topishga 
qo‘llaymiz. 
► 1. ( [ ] [ ] funksiya barcha (
uchun 
hosilaga ega bo‘lgan funksiyaning teskari funksiyasi. 
U holda 6-Teoremaga ko‘ra barcha 
( uchun
hosila mavjud va
(
√
√
funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli nuqtalar kiritilmagan, chunki ularga 
mos 
nuqtalarda
2. 
( ( funksiya barcha ( uchun 
hosilaga ega bo‘lgan funksiyaga teskari funksiya. Demak, 
6-Teoremaga ko‘ra barcha 
nuqtalarda
hosila mavjud va
(
Xuddi shu singari ixtiyoriy 
( uchun 
(
√
va barcha 
 uchun 
(
formulalarni hosil qilish mumkin.◄ 
Parametrik shaklda berilgan funksiyaning hosilasi. Tekislikda 
to‘g‘ri burchakli 
koordinatalar sistemasini kiritamiz. 
( va ( funksiyalar kesmada 
uzluksiz bo‘lsin. Agar parametrni vaqt sifatida qarasak, u holda ko‘rsatilgan 
funksiyalar koordinatalari 
tekislikda 
{
(
(
(10) 
bo‘lgan nuqtaning harakat qonunini aniqlaydi. 

---

1-Ta’rif. 
( koordinatalari (10) tenglamalar bilan aniqlanadigan tekislikning barcha 
{ } nuqtalari to‘plami yassi egri chiziq deb ataladi. Bu holda egri chiziq parametrik 
shaklda berilgan deyiladi. 
Agar (10) sistemada 
parametr yo‘qotilsa va qatnashgan bitta tenglama 
qoladi va natijada berilgan egri chiziq 
( tenglama bilan aniqlanadi. Masalan, 
(10) tenglamalarning o‘ng va chap tomonlarini kvadratga ko‘tarib, so‘ngra hadma-had 
qo‘shsak parametr yo‘qoladi va natijada aylananing bizga ma’lum
tenglamasiga ega bo‘lamiz. Ammo parametrni har dom ham yo‘qotib bo‘lavermaydi. 
Egri chiziq parametrik shaklda berilgan holda ham egri chiziqqa o‘tkazilgan urinmani 
topish uchun 
o‘zgaruvchidan o‘zgaruvchi bo‘yicha hosila olish kerak bo‘ladi. 
va o‘zgaruvchilar parametrning 
( , ( (
funksiyalari sifatida berilgan bo‘lsa, ozgaruvchining o‘zgaruvchiga funksional 
bog‘liqligi parameter shaklda berilgan deyiladi. 
Funksiya parametrik shaklda berilganda 
funksiyadan bo‘yicha hosilani 
hisoblash masalasini qaraymiz. 
( , ( funksiyalar biror ( oraliqda aniqlangan va uzluksiz 
bo‘lsin. ( funksiyaning ( teskari funksiyasi mavjud bo‘lsin. U holda
[ ( ] (11) 
murakkab funksiyani hosil qilamiz. Faraz qilaylik, 
( va ( funksiyalar (
nuqtada differensiallanuvchi va 
( , ( funksiya esa mos nuqtada 
differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda murakkab funksiyani differensiallash qoidasiga 
ko‘ra, [ ( ] murakkab funksiya ham nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi va 
(12) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Teskari funksiyani differensiallash qoidasiga binoan
bo‘ladi va uni (12) tenglikka qo‘ysak 
Shunday qilib, parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyaning hosilasi yana o‘z navbatida
{
(
(
(
(13) 
parametrik shaklda berilgan funksiya bo‘lar ekan.