Matematik analiz

Hisoblash usullari. Agar D integrallash sohasi Oy o‘qiga nisbatan standart bo‘lsa(1- shakl), ya’ni integrallash sohasi yon tarafdan va to‘g‘ri chiziqlar, quyidan va yuqoridan har biri vertikal chiziqlar bilan faqat bitta nuqtada kesishadigan va uzluksiz chiziqlar bilan chegaralangan soha bo‘lsa, ikki o‘lchovli integral quyidagicha hisoblanadi:
(1)

1-shakl.
Avval ichki integralda x o‘zgaruvchini o‘zgarmas kattalik sifatida qabul qilib integral hisoblanadi. (1) integralning qiymati o‘zgarmas son bo‘ladi.
Agar D integrallash sohasi Ox o‘qiga nisbatan standart bo‘lsa(2-shakl), ya’ni integrallash sohasi quyidan va yuqoridan va to‘g‘ri chiziqlar, yon tarafdan har biri vertikal chiziqlar bilan faqat bitta nuqtada kesishadigan va uzluksiz chiziqlar bilan chegaralangan soha bo‘lsa, ikki o‘lchovli integral quyidagicha hisoblanadi:
(2)
Avval ichki integralda y o‘zgaruvchini o‘zgarmas kattalik sifatida qabul qilib integral hisobalanadi.

2-shakl.
Yuqoridagi formulalarda o‘ng qismi ikki karrali integral (yoki takroriy integral) deyiladi. Ikki o‘lchovli integralni ikki karrali integral deb aytiladi.
Agar D integrallash sohasi Oy o‘qiga nisbatan ham, Ox o‘qiga nisbatan ham standart bo‘lmasa, u holda uni Oy (yoki Ox) o‘qiga nisbatan standart bo‘lgan chekli sondagi sohalarga bo‘linadi va ikki karrali integralni D soha bo‘yicha hisoblashda additivlik xossasidan foydalaniladi.
Integrallash chegaralarini tashqi va ichki integrallar uchun almashtirish integrallash tartibini o‘zgartirish deyiladi. Ya’ni integralni (1) shakldan (2) ga o‘tkazish va aksincha, (2) dan (1) ga almashtirish integrallash tartibini almashtirish deb ataladi.
1-misol. Karrali integralni hisoblang : .
- va egri chiziqlar bilan chegeralangan soha.
► soha o‘qiga nisbatan standart hisoblanadi(3-shakl).

3 - shakl

Ikki karrali integralni (1) takroriy ko‘rinishga olib kelamiz:

Karrali integralda ichki integralni Nyuton-Leybnis formulasidan foydalanib hisoblaymiz,

Endi tashqi integralni hisoblaymiz:
◄