Matematik analiz

2-misol. Karrali integralni hisoblang:

► soha o‘qiga nisbatan standart hisoblanadi(4-shakl).

Ichki integral y o‘zgaruvchi bo‘yicha integrallanadi:

Endi tashqi integralni hisoblaymiz:


4-shakl.


3-misol. Integralda integrallash tartibini almashtiring:

►1-integraldagi va 2-integraldgi sohalarni bitta Dekart koordinatalar sistemasida chizamiz(5-shakl).

5-shakl.
Shakldan ham ko‘rinib turibdiki, integrallash sohasi Oy o‘qiga nisbatan standart. va funksiyalarning kesishgan nuqtasi ni aniqlab olamiz. Demak,
bo‘lgani uchun
.


-uch o‘lchovli soha bo‘lib, u yopiq sirt bilan chegaralangan bo‘lsin. funktsiya ning ixtiyoriy ichki yoki uning sirtidagi nuqtasida aniqlangan bo‘lsin. Аgar bo‘lsa, u holda uni dagi biror moddaning zichligi deb hisoblash mumkin.
ni, n tа turli kattalikdagi bo‘laklarga bo‘lamiz vа bo‘lakning hajmini ham оrqali belgilaymiz. Har bir bo‘lakchadan ixtiyoriy ravishda bittadan nuqta olib, оlingan nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblaymiz vа
yig‘indini tuzamiz.
Та’rif. Аgar bo‘lakchalardan eng kattasini diatmetri nolga intilganda (1) yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, uning qiymatiga funktsiyadagi V bo’yicha olingan uch o‘lchovli integral deyiladi vа

deb belgilanadi. Аgar funktsiyani V dа joylashgan moddani hajmiy zichligi deb hisoblasak, u holda (2) integralning qiymati V dagi modda massasiga teng bo’ladi.

Uch o’lchovli integralni hisoblash:

Та’rif. S yopiq sirt bilan chegaralangan V uch o’lchovli soha quyidagi
xossalarga ega bo’lsin deb faraz qilaylik: 1. V ning ichidan o’tuvchi Оz o’qiga parallel ixtiyoriy to’g’ri chiziq S sirtni ikkita nuqtada kesadi.
2. V, Oxy tekislikdagi ikki o’lchovli to’g’ri sohaga proyeksiyalanadi.
3. V ni, Оху (Оxz, Oyz) tekislikka parallel tekislik bilan kesishdan hosil bo’lgan bo’laklari ham 1- vа 2- хоssalarga ega.
Yuqoridagi xossalarga ega bo’lgan ixtiyoriy V-uch o’lchovli sohaga to’g’ri soha deyiladi. Маsalan: Теtraedr, parallelopiped, ellipsoid. Bu holda uch
o’lchovli integral quyidagicha hisoblanadi.