Matematik analiz

2.2 Chiziqli funksional normasi. Qo’shma fazo. Chiziqli funksionallarning sust yaqinlashuvi
Aytaylik, E normalangan fazo va f undagi uzluksiz chiziqli funksional bo‘lsin. Quyidagicha aniqlangan ‖𝑓‖ = son, ya’ni |(𝑥)| qiymatlarning birlik shardagi aniq yuqori chegarasi bo‘lgan son f funksionalning normasi deyiladi.
1 - misol. 𝑅 da 𝑓(𝑥) = 𝑥 funksional normasini hisoblang.
‖𝑓‖ = = ≤ ≤ |𝛼| = |𝛼|. Demak, ‖𝑓‖ ≤ |𝛼|. Agar 𝑥 = 1 bo‘lsa, u holda (𝑥) = 𝛼 va ‖𝑓‖ = |𝛼| bo‘ladi.
2-misol. 𝐶[𝑎, 𝑏] fazoda aniqlangan 𝑓(𝑥) = chiziqli funksionalning normasini hisoblang.
‖𝑓‖ = = ≤ ≤ 𝑏 − 𝑎,
𝑥 ≡ 1 bo‘lsa, 𝑓(𝑥) = 𝑏 − 𝑎 tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak, ‖𝑓‖ = 𝑏 − 𝑎.
Chiziqli funksionallar uchun qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz.
Aytaylik, E biror chiziqli fazo, 𝑓₁ va 𝑓₂ undagi ikki chiziqli funksional bo‘lsin. Ularning 𝑓₁ + 𝑓₂ yig‘indisi va  songa ko‘paytirish amallari, ixtiyoriy 𝑥 ∈ 𝐸 uchun 𝑓 (𝑥)  𝑓₁(𝑥) + 𝑓₂(𝑥) va 𝑓 (𝑥)  𝑓₁(𝑥)
munosabatlar bilan aniqlanadi.
Bu tengliklarni tushunarli bo‘lishi uchun
(𝑓₁ + 𝑓₂)(𝑥)  𝑓₁(𝑥) + 𝑓₂(𝑥) va (𝑓₁)(𝑥)   𝑓₁(𝑥) kabi yozamiz. Demak, 𝑓₁ + 𝑓₂ va 𝑓₁ lar ham chiziqli funksionallardir. Bu amallarga nisbatan chiziqli funksionallar to‘plami chiziqli fazo hosil qilishi ravshan.
Shuningdek, E normalangan fazodagi 𝑓₁ va 𝑓₂ funksionallarning uzluksizligidan 𝑓1 + 𝑓₂ va  𝑓₁ larning uzluksizligi kelib chiqadi. Kelgusida, E da aniqlangan barcha uzluksiz chiziqli funksionallar fazosini E* orqali belgilaymiz va u E ga qo‘shma fazo deyiladi. Aytaylik E normalangan fazo bo‘lsin.
4-ta’rif. Agar E dan olingan {𝑥_n} elementlar ketma-ketligi va ixtiyoriy f uzluksiz chiziqli funksional uchun {(𝑥_n)} sonlar ketma-ketligi 𝑓(𝑥₀) ga yaqinlashsa, ya’ni 𝑓(𝑥_n) → 𝑓(𝑥₀) munosabat bajarilsa, u holda {𝑥𝑛} ketma-ketlik 𝑥₀ elementga sust yaqinlashadi deyiladi. Bu holda 𝑥₀ element { _n } ketma-ketlikning sust limiti deyiladi.
4-teorema. { _n } ketma-ketlikning sust limiti yagona bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, ixtiyoriy f uzluksiz chiziqli funksional uchun {(𝑥_n)} → 𝑓(𝑥₀) va {𝑓(𝑥_n)} → 𝑓(𝑦₀) bo‘lsin. U holda (𝑥₀) = 𝑓(𝑦₀), bundan 𝑓(𝑥₀− 𝑦₀) = 0 bo‘ladi. Agar 𝑥₀≠ 𝑦₀ deb faraz qilsak, u holda Xan-Banax teoremasi natijasiga ko‘ra E da shunday 𝜑 uzluksiz chiziqli funksional mavjud bo‘lib, 𝜑(𝑥₀− 𝑦₀) ≠ 0 bo‘ladi. Bu esa ixtiyoriy f uzluksiz chiziqli funksional uchun (𝑥₀− 𝑦₀) = 0 ekanligiga zid. Demak, 𝑥₀= 𝑦₀.
Quyidagi tasdiq o‘z-o‘zidan ravshan.
5-teorema. Agar { _n } ketma-ketlik 𝑥₀ ga sust yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlikning ixtiyoriy qism ketma-ketligi ham 𝑥₀ ga sust yaqinlashadi.
Sust yaqinlashishdan farq qilish uchun 𝐸 fazodagi normaga nisbatan yaqinlashishni kuchli yaqinlashish deyiladi. Ravshanki, kuchli yaqinlashishdan sust yaqinlashish kelib chiqadi.
6-teorema. 𝑅ⁿ fazoda sust yaqinlashish kuchli yaqinlashish bilan ustma – ust tushadi.
Isbot. Sust yaqinlashishdan kuchli yaqinlashish kelib chiqishini ko‘rsatish yetarli. Aytaylik, 𝑅ⁿ fazoda 𝑒₁, 𝑒₂, … , 𝑒_n ortonormal bazis va {𝑥_k } ketma-ketlik (bu yerda ) biror 𝑥 ∈ 𝑅ⁿ elementga (bu yerda ) sust yaqinlashuvchi bo‘lsin. 𝑅ⁿ fazoda quyidagicha aniqlangan 𝑓_j chiziqli funksionalni qaraymiz:

U holda teorema shartiga ko‘ra 𝑘 → ∞ da quyidagi munosabatlarni yozishimiz mumkin:
= → = , 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛.
ya’ni { } ketma-ketlik 𝑥 elementga koordinatalar bo‘yicha yaqinlashadi. Demak, 𝑘→ ∞ da

ya’ni { } ketma-ketlik 𝑥 ga kuchli yaqinlashadi. Bundan ko‘rinib turibdiki, sust yaqinlashishdan kuchli yaqinlashish kelib chiqadi.
𝐻 Gilbert fazosida ixtiyoriy uzluksiz chiziqli funksional skalyar ko‘paytma ko‘rinishida ifodalanishi hamda skalyar ko‘paytmaning uzluksizligidan quyidagi tasdiqning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
7-teorema. 𝐻 Gilbert fazosida { } ketma-ketlik biror 𝑥 elementga sust yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun ixtiyoriy 𝑦 ∈ 𝐻 elementga nisbatan ushbu ( ,𝑦)→(𝑥, 𝑦) munosabat bajarilishi zarur va yetarli. Endi 𝑙₂ fazoda sust yaqinlashishni qaraymiz. Ma’lumki, 𝑙₂ fazoda ortonormal bazis sifatida ushbu ₁=(1, 0, 0, … ), 𝑒₂= (0, 1, 0, … ) vektorlar sistemasini olish mumkin. 7-teoremadagi 𝑦 sifatida 𝑒_i larni olsak, biror { } ketma-ketlikni 𝑥 ga sust yaqinlashishidan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi:
⁽ⁱ⁾= ( , 𝑒_i ) → (𝑥, 𝑒_i) = 𝑥⁽ⁱ⁾ , 𝑖 = 1, 2, … (3)
ya’ni sust yaqinlashuvchi ketma-ketlik koordinatalar bo‘yicha ham shu elementga yaqinlashuvchi bo‘ladi. Shunday qilib, ₂ fazoda sust yaqinlashish koordinatalar bo‘yicha yaqinlashish bilan teng kuchlidir. Shuni ham aytib o‘tish kerakki, 𝑙₂ fazoda sust yaqinlashish kuchli yaqinlashishdan farq qiladi. Masalan, {𝑒_k} ketma-ketlik 𝑙₂ fazoda nol vektorga sust yaqinlashadi, chunki ixtiyoriy 𝑦 = (𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_n, … ) ∈ 𝑙₂ element uchun
(𝑦, 𝑒_k) = 𝑦_k → 0, 𝑘 → ∞.
Ammo ixtiyoriy 𝑛 uchun ‖𝑒_k‖ = 1 ↛ 0, ya’ni {𝑒_k} ketmaketlik nolga kuchli yaqinlashmaydi.
8-teorema. {𝑥𝑛} ketma-ketlik 𝑥₀ elementga sust yaqinlashishi uchun
1) {‖𝑥_n‖} ketma-ketlik chegaralangan;
2) chiziqli kombinatsiyasi 𝐸^* da zich bo‘lgan biror uzluksiz chiziqli funksionallar to‘plamidan olingan ixtiyoriy 𝑓 funksional uchun 𝑓(𝑥_n) → 𝑓(𝑥₀) bo‘lishi zarur va yetarli.

XULOSA

FOYDALANILGAN ADABIYORLAR